О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 16 из 17)

(3)

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

и

, где

для некоторого простого числа

,

сверхразрешимая максимальная подгруппа группы

и

.

Пусть

--- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть --- максимальная подгруппа группы , не содержащая и . Тогда по тожеству Дедекинда, Так как ввиду (2), абелева, то и поэтому . Следовательно, и сверхразрешима и согласно леммы , .

(4)

--- наибольший простой делитель порядка группы

.

Пусть

и --- такие максимальные подгруппы группы , что , . Так как , то ввиду леммы , для некоторого . Поскольку ввиду леммы , , то либо , либо . Пусть . И пусть --- наибольший простой делитель . Тогда силовская -подгруппа группы нормальна в , и поэтому содержится в . Следовательлно, --- наибольший простой делитель . Если не является холловой подгруппой группы ,то справедливо (4). Пусть --- холлова подгруппа группы и допустим, что , где наибольший простой делитель порядка группы . Тогда для некоторого . Так как , то ввиду (1), порядок силовской -подгруппы группы . Ясно, что . Пусть --- силовская -подгруппа группы . По условию, для некоторого и ввиду леммы , . Согласно леммы , . Поскольку , то имеет нормальную подгруппу простого порядка такую, что и для некоторого . Согласно леммы , , и поэтому ввиду (2), , противоречие. Полученное противоречие доказывает (4).