О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 17 из 17)

(5)

--- силовская

-подгруппа группы

.

Допустим, что это утверждение не верно. Тогда

. Это влечет и поэтому ввиду (4), и леммы, , что противоречит (3). Итак, --- силовская -подгруппа группы .

(6) Заключительное противоречие.

Поскольку

и --- силовская -подгруппа группы , то либо , либо . Допустим, что и пусть --- минимальная нормальная в подгруппа, содержащаяся в .

По условию,

для некоторого , где --- некоторое простое число, и --- холлова -подгруппа группы . Тогда

Значит,

и поэтому . Таким образом, . Следовательно, --- сверхразрешимая группа, что противоречит выбору группы . Теорема доказана.

Заключение

В данной главе получены новые критерии сверхразрешимости факторизуемых групп на основе условия

-перестановочности некоторых подгрупп. Полученные здесь результаты показывают, что строение группы в существенной мере определяется наличием в ней факторизаций системами перестановочных и -перестановочных подгрупп. Пальчик Э.М., Конторович Н.П. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой.

Литература

1.Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. --- 2000. --- № 4. --- С. 22---25.

2.Подгорная В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. --- 1999. --- № 4(14). --- С. 80---82.

3.Поляков Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами // Конечные группы. --- Минск: Наука и техника, 1966. --- С.75---88.

4.Самусенко (Подгорная) В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 13. --- 1998. --- С. 177---182.

5.Самусенко (Подгорная) В.В. О сверхразрешимости конечных групп с циклическими добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 14. --- 1999. --- С. 141---146.

6.Сергиенко В.И. Критерий

-разрешимости для конечных групп // Мат. заметки. --- 1971. --- Т. 9, № 4. --- С. 375---383.

7.Сергиенко В.И. Некоторые свойства квазинормальных групп // Подгрупповое строение конечных групп: труды гомельского семинара / Под ред. В.С. Монахова. --- Мн.: Наука и техника, 1981. --- С.149---152.

8.Скиба А.Н.

-перестановочные подгруппы // Известия Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины. --- 2003. --- № 4(19). --- C. 37---39.

9.Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. --- Киев: Наук. думка, 1987. ---208с.

10.Черток В.Д. Порождение конечной группы системами недостижимых подгрупп // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. --- 1967. --- № 2. --- С. 80---84.

11.Чунихин С.А. Об условиях теорем типа Силова // ДАН СССР. --- 1949. --- Т. 69, № 6. --- С. 735---737.

12.Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. --- Минск: Наука и техника, 1964. --- 158 с.

13.Шеметков Л.А. Формации конечных групп. --- М.: Наука, 1978.--- 272 с.

14.Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. --- 1924. --- Т. 31. --- С. 366---372.