О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 2 из 17)

;

--- централизатор подгруппы в группе ;

--- нормализатор подгруппы в группе ;

--- центр группы ;

--- циклическая группа порядка ;

--- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .

Если

и --- подгруппы группы , то:

--- прямое произведение подгрупп и ;

--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;

--- и изоморфны.

Группа

называется:

примарной, если

;

бипримарной, если

.

Скобки

применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

--- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

, где .

Группу

называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;

-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа

группы такая, что нильпотентна.

разрешимой, если существует номер

такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе

группы называется такая подгруппа из , что .

Минимальная нормальная подгруппа группы

--- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы

--- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

--- цоколь группы .

Экспонента группы

--- это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп

называется:

субнормальным, если

для любого ;

нормальным, если

для любого ;

главным, если

является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

--- класс всех групп;

--- класс всех абелевых групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп;

--- класс всех --групп;

--- класс всех сверхразрешимых групп;

--- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .