О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 4 из 17)

Ясно, что

. Пусть и . Так как по условию для некоторого ,

то мы имеем

где

. Это показывает, что каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы . Но поскольку --- произведение сверхразрешимых подгрупп и , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.

(3) Группа

имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.

Допустим, что

. Тогда ввиду (2), --- сверхразрешимая группа и поэтому разрешима. Следовательно, имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.

Предположим теперь, что

. Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда по условию . Предположим, что . Ввиду леммы мы видим, что . Но сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , абелева. Пусть теперь . Предположим, что и пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Согласно (1), сверхразрешима, но , и поэтому ввиду леммы , . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Пусть теперь . Так как , то каждая подгруппа группы перестановочна с каждой погруппой группы . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда . Предположим, что . Ввиду леммы мы видим, что . Но сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , абелева. Пусть теперь . Предположим, что и пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Согласно (1), сверхразрешима, но , и поэтому ввиду леммы , . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Следовательно, . Поскольку и абелевы группы, то группа имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу.

(4) Группа

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где и --- такая максимальная в подгруппа, что

и .

Пусть

--- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть --- максимальная подгруппа в такая, что и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как ввиду (3), абелева, то и . Это показывает, что . Следовательно, --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы . Согласно (2) и выбора группы , мы имеем