О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 7 из 17)

Поскольку

то Так как --- простое число, то также является простым числом. Следовательно, ряд (2) является главным рядом группы . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.

(2) Группа

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

и

, где

и

--- такая максимальная в

подгруппа, что

и

.

Пусть

--- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть --- максимальная подгруппа в такая, что и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как разрешима, то --- элементарная абелева -группа для некоторого простого и поэтому и . Это показывает, что . Следовательно, --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы . Согласно (1) и выбора группы , мы имеем .

(3)

и

имеют не простые порядки.

Действительно, если для некоторого простого

, , то в группе каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы и поэтому по теореме, сверхразрешима, что противоречит выбору группы . Следовательно, не является простым числом. Предположим теперь, что . Допустим, что . Тогда . Так как нильпотентна, то ввиду(2), --- -группа. Покажем теперь, что . Предположим, что . Так как сверхразрешима, то . Но поскольку , то согласно лемме, , и поэтому . Предположим теперь, что . В этом случае, для некоторого ,

Так как,

Значит,

. Покажем, что условия теоремы справедливы для подгруппы . Ясно, что , где и --- нильпотентные подгруппы и подгруппа имеет главный ряд

где

. Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем . Поскольку и , то . Это означает, что каждая подгруппа -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима. Значит, . Отсюда следует, что , противоречие. Таким образом, . Следовательно, --- силовская -подгруппа группы и поэтому --- максимальная подгруппа группы . Поскольку для некоторого , и максимальная подгруппа группы , , то . Получили противоречие с нашим предположением о группе . Значит, . По условию, , для некоторого и поэтому . Согласно лемме , . Так как порядок группы является не простым числом, то . Отсюда следует, что , что невозможно в силу (2). Этим доказано (3).