Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 10 из 15)

Следовательно,

не нормальна в и подгруппа не -нильпотентна. Так как дисперсивна, то нормальна в . По лемме 2 в группе имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Но циклическая, поэтому - простое число и по лемме 3 подгруппа сверхразрешима и есть -группа. Значит, , где - силовская -подгруппа в , a - силовская -подгруппа.

Рассмотрим подгруппу

. Она дисперсивна. Если нормальна в , то дисперсивна. Противоречие. Значит, нормальна в .

Итак, в группе

холловские подгруппы имеют строение: сверхразрешима с циклической силовской -подгруппой ; с силовской -подгруппой шмидтовского типа; - подгруппа Шмидта.

В разрешимой группе

имеется нормальная подгруппа простого индекса. Пусть . Если бипримарна или примарна, то дисперсивна. Пусть трипримарна. По индукции дисперсивна, а так как в нет нормальных силовских подгрупп, то .

Если

и , то нильпотентна как подгруппа группы Шмидта и нормальна в . Если и , то

также нильпотентна, и

нормальна в .

Итак, при

в имеется нормальная силовская подгруппа. Противоречие.

Пусть

. Если , то

нильпотентна и

нормальна в . Пусть . Тогда

Теперь

нормальна, в . Если , то и нормальна в . Если , то - собственная подгруппа в группе Шмидта . Поэтому нильпотентна, и

т.е.

нормальна в . Противоречие.

Осталось рассмотреть случай

. Так как нормальна в , и циклическая, то в имеется нормальная подгруппа порядка . Теперь - абелева группа порядка, делящего . и в случае в группе имеется нормальная подгруппа простого индекса, отличного от . Но эта ситуация уже рассмотрена. Если , то к фактор-группе применима индукция, по которой дисперсивна. Так как - подгруппа из центра , то и вся группа дисперсивна.