Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 11 из 15)

Лемма 7 доказана полностью.

8.

- подгруппа примарного индекса конечной группы , то .

Пусть

- силовская -подгруппа группы , содержащая -подгруппу . Так как , то . Теперь для любого элемента , где , , получаем

и

- -группа.

9.

- группа порядка , где и - простые числа, и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда либо -группа, либо группа Шмидта , где - элементарная абелева, или группа кватернионов.

Пусть

не является силовской в подгруппой и - силовская в -подгруппа. Тогда - подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в подгруппы . По условию сверхразрешима, поэтому ее коммутант нильпотентен и

т.е.

и абелева. Итак, в силовской -подгруппе из все собственные подгруппы абелевы.

Так как

не -нильпотентна, то в ней имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Эта подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если , то силовская -подгруппа в циклическая, а так как , то нормальна в . Противоречие.

Следовательно,

По лемме 8 подгруппа

максимальна в .

Если

- абелева, то - элементарная абелева группа порядка и - показатель числа по модулю .

Пусть

- неабелева группа. Так как сопряжена , то все собственные в подгруппы абелевы, т.е. - группа Миллера-Морено. Если - неабелева группа, порядка и экспоненты , то из свойств групп Шмидта следует, что делит . Так как , то , . Но группы экспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно, - группа кватернионов порядка 8 и .

Факторгруппа

- q-замкнута по лемме 3.2 , поэтому в каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Поскольку , то из следует, что имеет простой порядок, а так как не входит в , то

есть группа Шмидта.

10.

- группа порядка , где и - простые числа, и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа либо -группа, либо изоморфна и делит .