Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 2 из 15)

9.

- группа порядка , где и - простые числа, и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда либо -группа, либо группа Шмидта , где - элементарная абелева, или группа кватернионов.

10.

- группа порядка , где и - простые числа, и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа либо -группа, либо изоморфна и делит .

Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

D. класс

замкнут относительно прямых произведений и разрешим. Если в конечной неразрешимой группе нет неединичных нормальных -подгрупп, то изоморфна одной из следующих групп: и - простое число или 9; или и .

1. конечная неразрешимая группа

принадлежит , то , где , а и .

2. класс

замкнут относительно прямых произведений, и - неразрешимая группа, принадлежащая . Если - минимальная нормальная в подгруппа, то либо , либо - простая неабелева группа, и , где .

3. класс

разрешим и - простая неабелева группа из , то:

1)

, , и или - простое число;

2)

, и - простое число;

3)

, , ;

4)

, или , или соответственно.

В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая

A. Пусть

- конечная группа и

. Тогда и только тогда в группе

все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1)

- 2-группа;

2)

- группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3)

.

Здесь

- центр группы , - наибольшая нормальная в подгруппа нечетного порядка. Через обозначим класс конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.

1.

- наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы

также принадлежит

осуществляется проверкой.

Отметим, что знакопеременная группа

, но не содержится в . Поэтому не является формацией и не является классом Фиттинга.