Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 7 из 15)

Если

- собственная подгруппа в группе , то удовлетворяет условию леммы, по индукции подгруппа -нильпотентна. Теперь группа либо -нильпотентна, либо -замкнутая группа Шмидта (см. , с. 192). Последнее исключается условием леммы.

3.

- сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой и циклической силовской -подгруппой , то .

Все главные факторы сверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как

- главный фактор, то

Определения дисперсивных групп см. в , с.251. Конечная группа называется трипримарной, если ее порядок делится точно на три различных простых числа.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

Пусть в конечной группе

все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и - наименьшее простое число, делящее порядок . По лемме 3 в группе нет -замкнутых подгрупп Шмидта, поэтому -нильпотентна по лемме 2. По индукции нормальное -дополнение в дисперсивно по Оре, поэтому и вся группа дисперсивна по Оре.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

Пусть

- недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа , которая является группой Шмидта. Так как бипримарна, а индекс в группе по условию леммы примарен, то группа либо бипримарна, либо трипримарна.

6. группа порядка

, где и - простые числа, и не делит , нильпотентна.

Пусть

- рассматриваемая группа. Так как сверхразрешима и , то в имеется нормальная подгруппа порядка . Теперь изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы , которая является циклической порядка . Поскольку не делит , то силовская -подгруппа из содержится в . Теперь лежит в центре . Факторгруппа нильпотентна по индукции, значит, нильпотентна и .

теоремы B. Пусть

- конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная силовская 2-подгруппа из ; подгруппа - циклическая. Поскольку не является сверхразрешимой группой, то ее индекс примарен, т.е. , где - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из и является холловской подгруппой в .

По теореме 2.1 подгруппа

содержит нормальную в группе подгруппу такую, что факторгруппа изоморфна

В факторгруппе

по лемме 1 несверхразрешимыми могут быть только подгруппы примарных индексов. В и имеется несверхразрешимая подгруппа, изоморфная знакопеременной группе степени 4, индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.

В

внешний автоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в имеется несверхразрешимая подгруппа порядка 24 и индекса , в связи с чем данная группа также исключается.

Пусть

изоморфна . Группа допускает единственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно: (см. , с.73). Поэтому - 5-группа, изоморфна и имеет порядок 5.