Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 9 из 15)

Так как

то

. По свойству коммутантов , значит,

Так как

, то подгруппа изоморфна и не изоморфна .

Осталось рассмотреть случай

. Группа допускает единственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, а именно: . Поэтому - 3-группа, изоморфна и - циклическая группа порядка 9.

Предположим вначале, что

- неабелева группа. Через обозначим центр . По индукции факторгруппа изоморфна , где

Поскольку

- собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа

характеристична, в а подгруппа нормальна в . Поэтому нормальна в . Из простоты следует, что . Следовательно, , где .

Пусть теперь

- абелева группа. Так как подгруппа имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но , где - подгруппа порядка 7, а - 3-группа. Отсюда следует, что нильпотентна и абелева, а поэтому , т.е. лежит в центре .

Если

, то группа квазипроста, и по , с.646. В этом случае .

Значит, коммутант

- собственная в подгруппа. По индукции

Где

Так как

По свойству коммутантов

. Следовательно,

где

.

Теорема 1 доказана.

Перейдем теперь к изучению разрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы. В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

Пусть

- разрешимая группа порядка , где - различные простые числа, и пусть каждая подгруппа непримарного индекса из сверхразрешима. Предположим, что -нильпотентна. Тогда холловская -подгруппа нормальна в . Если сверхразрешима, то дисперсивна. Если несверхразрешима, то все собственные подгруппы из имеют в группе непримарные индексы. Поэтому - минимальная несверхразрешимая группа. Теперь дисперсивна, поэтому дисперсивна и .

Если группа

содержит нормальную силовскую -подгруппу , то , где - холловская -подгруппа. Так как дисперсивна, то дисперсивна и . Противоречие.

Пусть теперь группа

не обладает нормальным дополнением ни к одной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из не нормальна в . Предположим, что . Так как не -нильпотентна, то в имеется -замкнутая подгруппа Шмидта , где - некоторая -группа, и или . Из минимальности по лемме 3 получаем, что несверхразрешима, поэтому ее индекс примарен, и , где - примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7 подгруппу можно выбрать так, что - холловская -подгруппа в группе . Если нормальна в , то - нормальная в холловская подгруппа. Так как либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, то - дисперсивна, поэтому дисперсивна и . Противоречие.