Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 1 из 15)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Зелюткина В.И.

Научный руководитель: профессор,

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры алгебры и геометрии

Монахов В.С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Заключение

Список литературы

Введение

Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:

A. Пусть

- конечная группа и

. Тогда и только тогда в группе

все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1)

- 2-группа;

2)

- группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3)

.

1.

- наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы

также принадлежит

.

2.

, то --- -свободна.

3.

и не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в элементарная абелева или типа .

4.

- разрешимая группа и , то 2-длина группы не превосходит 1.

5.

- разрешимая группа и . Если и силовская 2-подгруппа из неабелева, то центр совпадает с центром .

6.

- разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Лемма 7.

и - простая неабелева группа, то .

8.

и , то .

9.

для

.

Во второй - конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1)

или , где - 5-группа;

2)

, где - 3-группа.

C.

- разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда бипримарна, и - дисперсивная группа порядка , где .

1.

конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

2.

- конечная группа и - простое число, делящее порядок . Если в нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то -нильпотентна.

3.

- сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой и циклической силовской -подгруппой , то .

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

6. группа порядка

, где и - простые числа, и не делит , нильпотентна.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

8.

- подгруппа примарного индекса конечной группы , то .