Представления конечных групп (стр. 10 из 11)

Теорема 5.3. (Закон взаимности Фробениуса.) Пусть

– подгруппа в

. Пусть

– полный набор неприводимых характеров группы

, а

– полный набор неприводимых характеров группы

. Тогда

в том и только том случае, когда

Другими словами, если

– неприводимое представление группы , а – неприводимое представление , то является неприводимой компонентой в кратности тогда и только тогда, когда является неприводимой компонентой в кратности .

Доказательство. Пусть

и . В силу леммы 5.1

1.6 Произведение представлений

Пусть

– квадратные матрицы порядков и соответственно, и пусть . Определим кронекерово, или тензорное, произведение матриц и следующим образом:

Значит,

представляет собой квадратную матрицу порядка . Непосредственными вычислениями устанавливается следующая

Лемма 6.1.

(1)

,

(2) если

имеют степень

, a

– степень

, то

Пусть

и – представления группы . Тогда в силу леммы 6.1 (2) отображение

также является представлением этой группы. Такое представление называют произведением представлений

и обозначают через . Пусть – характеры представлений соответственно. По лемме 6.1 (1)

Пусть

– полный набор неприводимых представлений группы , а – характер . Отображение также является неприводимым, и его характер – это , где . Пусть .

Теорема 6.2. Равенство

имеет место тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Таким образом, кратность вхождения

в равна кратности вхождения в

Теорема 6.3. Пусть

– точное представление группы

и

– его характер. Пусть

– число различных значений, которые принимает

на

. Тогда каждое неприводимое представление группы

входит в

для некоторого

, где .

Доказательство. Предположим, что неприводимое представление

не входит в . Пусть – характеры и соответственно. Тогда

для

. Пусть принимает на значение . Положим и . В силу (6.1)

для

Рассмотрим (6.2) как систему линейных уравнений для . Поскольку , эта система имеет решение .