Смекни!
smekni.com

Представления конечных групп (стр. 11 из 11)

Пусть

– степень представления
, т.е.
. Мы можем считать, что
. Покажем, что
. Пусть
, т.е.
. Обозначим через
циклическую группу, порожденную элементом
. По теореме 3.3
эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы

Пусть

– порядок элемента
. Тогда
. Взяв след в равенстве (6.3), получаем
. Это означает, что
, т.е.
. Плскольку
точно,
. Поэтому
и
. Полученное противоречие доказывает теорему.

Таблицы характеров. Пусть

– группа и
– классы сопряженных элементов в
. Пусть
– нерпиводимые характеры группы
, а
– представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения
таким образом, чтобы получить таблицу характеров группы
, в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с
, а столбцы – классами сопряженности группы
, начиная с класса
.

Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы

, а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.

Заключение

Таким образом, в данной работе мы показали, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Путем прямых вычислений доказали лемму:

для произвольной квадратной матрицы
и теорему: Пусть
– группа и
– ее подгруппа. Пусть
– представление
степени
, а
– его характер. Тогда индуцированное представление
имеет степень
, где
, и характер

Непосредственными вычислениями была устанавлена следующая лемма:

,

(2) если

имеют степень
, a
– степень
, то


Список использованных источников

Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп. – Усп. мат. наук, 1980, т. 35, №5, (215), с. 181–212.

Монахов В.С. О трижды факторизуемых группах. – Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1981, №6, с. 18–23.

Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп // Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с. 189–195

Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук. – 1996, №3-с. 21–24