Представления конечных групп (стр. 2 из 11)

Централизатор. Пусть

– непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества

в группе и обозначается через .

Лемма

1. Если

– подмножество группы , то централизатор является подгруппой.

2. Если

и – подмножество группы и , то

3. Если

– подмножество группы и , то

Центр группы. Центром группы

называется совокупность всех элементов из

, перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .

Зафиксируем в группе

элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом

, и обозначим через .

Теорема. Циклическая подгрупппа

, порожденная элементом

, состоит из всевозможных целых степеней элемента

, т.е.

Следствие. Циклическая подгруппа абелева.

Порядок элемента. Пусть

– элемент группы . Если все степени элемента различны, т.е. для всех целых , то говорят, что элемента имеет бесконечный порядок.

Нормализатор. Если

– непустое подмножество группы и то и Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества

в группе и обозначается через . Итак,

Лемма. Пусть

– непустое подмножество группы

,

– произвольный элемент группы

. Тогда:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5) если

– подгруппа группы , то

Подгруппа

называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается: » – нормальная подгруппа группы «. Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Теорема. Для подгруппы

группы

следующие утверждения эквивалентны:

1)

– нормальная подгруппа;