Представления конечных групп (стр. 3 из 11)
2) подгруппа
вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. 
для всех 
;3) подгруппа
совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. 
для всех .Лемма. Пусть – подгруппа группы 
. Тогда:
1)
;2) если
и 
, то 
;3)
– наибольшая подгруппа группы , в которой 
нормальна;4) если
, то 
. Обратно, если , то 
;5)
для любого непустого подмножества 
группы 
.Простая группа. В каждой группе
тривиальные подгруппы (единичная подгруппа 
и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу считают непростой.1.1 Представления групп
Пусть
– группа всех невырожденных матриц порядка 
над полем 
комплексных чисел. Если – произвольная группа, то ее (матричным) представлением называется любой ее гомоморфизм в 
G 
,такой, что
, 
(единичная матрица), 
. Число n называется степенью этого представления. Если гомоморфизм A иньективен, то представление называется точным.Пример 1.1 Отображение, переводящее каждый элемент группы
в 
, является представлением степени 
. Оно называется тождественным представлением группы и обозначается через 
.Пример 1.2 Если
– некоторое представление группы , то для каждой невырожденной матрицы 
отображение 
также является представлением этой группы.Пусть
и 
– два представления группы . Если существует невырожденная матрица , такая, что что 
,то представления
и 
называются эквивалентными. Тот факт, что представления и эквивалентны, мы будем обозначать так: 
. Отношение 
определяет классы эквивалентных представлений группы .Пример 1.3. Пусть
– симметрическая группа степени 
. Для элемента 
через
обозначим матрицу, 
строка которой имеет вид 
, где 1 стоит на 
месте. Другими словами, 
где
Такое отображение
является точным представлением группы 
.1.4. Пусть
–конечная группа, состоящая из элементов 
и пусть 
– симметрическая группа на . Отображение, которое ставит в соответствие элементу 
подстановку 
является инъективным гомоморфизмом группы
в 
. С такой подстановкой 
мы свяжем матрицу 
где, как и в примере
, 
Тогда отображение
является точным представлением группы 
. Оно называется правым регулярным представлением этой группы. Определим 
следующим образом: 
Тогда
и, если
, то каждый диагональный элемент равен нулю.