Представления конечных групп (стр. 4 из 11)

регулярное представление группы

определяется аналогично с использованием гомоморфизма

Другими словами,

Пусть

– некоторый гомоморфизм из в , т.е. подстановочное представление группы . Представив подстановку в виде матрицы , как это сделано в примере 1.3, мы получим представление

Пусть

– представление степени . Говорят, что приводимо, если существует такая невырожденная матрица , что

где

и – квадратные матрицы порядка и соответственно, причем Отметим, что представления

эквивалентны, поскольку

для матрицы

Скажем, что представление

неприводимо, если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения и являются представлении степеней и соответственно.

Для заданных представлений

и группы степеней и соответственно отображение

является представление степени

этой группы. Такое, представление называется прямой суммой представлений и и обозначается через .

Представление

группы называется вполне приводимым, если оно эквивалентно прямой сумме некоторых неприводимых представлений, т.е. если найдется невырожденная матрица , такая, что

где каждое

является неприводимым представлением группы .

1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп

Представление

группы называется унитарным, если для всех матрица является унитарной, т.е. . Здесь обозначает матрицу, транспонированную к , где , а – величина, комплексно – сопряженная к . В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Матрица

называется эрмитовой, если , и положительно определенной, если для каждого ненулевого столбца . Следующая лемма тривиальна.

Лемма 2.1. Пусть

– произвольная невырожденная матрица. Тогда

– положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, сумма положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной эрмитовой матрицей.

Лемма 2.2. Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы

найдется невырожденная верхнетреугольная матрица

, такая, что

.

Доказательство. Пусть

. Тогда и . Пусть

.

Положим

Тогда

и

– положительно определенная эрмитова матрица. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по порядку матрицы .

Теорема 2.3. Пусть

– конечная группа. Для каждого представления

группы

найдется невырожденная верхнетреугольная матрица

, такая, что

является унитарной матрицей для всех

.

Доказательство. Положим

Тогда в силу леммы 2.1

является положительно определенной эрмитовой матрицей. Таким образом, найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что и поэтому . Так как

то

, т.е. ; поэтому – унитарная матрица.