Представления конечных групп (стр. 5 из 11)

Теорема 2.4. Каждое представление конечной группы вполне приводимо.

Доказательство. Пусть

– приводимое представление конечной группы , и пусть разлагается следующим образом:

В силу предыдущей теоремы существует невырожденная матрица

, такая, что – унитарная матрица. Так как верхнетреугольная, то имеет вид

Поскольку

, мы получаем

откуда следует, что

.

1.3 Лемма Шура

Лемма 3.1. (Лемма Шура.) Пусть

и

– неприводимые представления группы

степеней

и

соответсвенно. Пусть

– такая

– матрица, что

Тогда либо

,

либо

и невырожденная.

Доказательство. Допустим, что

. Покажем, что тогда имеет место . Предположим, что либо , либо и вырожденна. Тогда существуют матрицы и , такие, что

где

. Так как , то

где

Таким образом,

, если , и , если . В любом случае или приводимо, что противоречит условию.

Теорема 3.2. Пусть

– неприводимое представление группы

. Пусть

– такая матрица, что

для всех

. Тогда

, где

.

Доказательство. Пусть

– некоторое собственное значение матрицы . Тогда , а, кроме того,

откуда в силу леммы Шура следует, что

Теорема 3.3. Пусть

– абелева группа. Тогда каждое ее неприводимое представление имеет степень 1.

Доказательство. Пусть

– неприводимое представление группы . Поскольку коммутирует с каждой матрицей , из предыдущей теоремы следует, что , где . Поскольку неприводимо, отсюда вытекает, что его степень равна 1.

1.4 Соотношения ортогональности для характеров

Ниже везде предполагается, что рассматриваемые группы конечны.

Характеры. Для квадратной матрицы

порядка обозначим через ее след, т.е.

Путем прямых вычислений доказывается следующая

Лемма 4.1.

для произвольной квадратной матрицы

.

Для представления

группы положим Тогда – функция, принимающая значения в множестве и называемая характером представления . Очевидно, что равно степени представления . Характеры неприводимых представлений называются неприводимыми характерами. Из леммы 4.1 (2) вытекает следующая

Лемма 4.2. Эквивалентные представления имеют один и тот же характер.

Поскольку

, имеет место равенство . Таким образом, принимает одно и то же значение на всем классе сопряженных элементов группы . Такие функции называются функциями классов.

Первое соотношение ортогональности для характеров. Пусть

– группа порядка , а и – ее неприводимые представления степеней и соответственно. Для произвольной – матрицы пусть