Представления конечных групп (стр. 6 из 11)

Тогда, положив

, получаем

Поскольку

, как и , пробегает группу , то

Предположим, что

и неэквивалентны. Тогда в силу леммы Шура . Отсюда для -го элемента матрицы получаем

В частности, если взять

для некоторой пары и в остальных случаях, то

Пусть теперь

. Тогда в силу теоремы 3.2 для некоторого . При этом -ый элемент матрицы равен

где

и для . Вычислив след матрицы

мы получаем

(здесь – степень представления ), откуда

Пусть

для некоторой пары и , если или . Тогда

Тем самым мы получаем следующее утверждение.

Теорема 4.3. Пусть

– группа порядка g.

(1) Пусть

– неприводимое представление группы

степени

. Тогда

(2) Пусть

– неприводимое представление, не эквивалентное представлению . Тогда

Пусть

– характеры представлений и . Положив в предыдущей теореме и просуммировав по , мы получаем теорему.

Теорема 4.4. (Первое соотношение ортогональности для характеров.) Пусть

– группа порядка g.

(1) Если

– неприводимый характер группы

, то

(2) Если

– характеры неэквивалентных неприводимых представлений группы , то

Отметим, что

для всех , поскольку теорема 2.3 утверждает, что эквивалентно некоторому унитарному представлению и потому

Пусть

– представители классов эквивалентности неприводимых представлений группы и – характеры представлений . Обозначим через классы сопряженных элементов группы , причем , и пусть – представители этих классов. Поскольку характеры – это функции классов, теорема 4.4 может быть переписана в следующем виде.

Теорема

.

Для функций

, определенных на группе порядка и принимающих значения в поле , определим скалярное произведение по следующему правилу:

В случаях, когда ясно, о какой группе идет речь, мы иногда вместо

будем писать . Очевидно, что скалярное произведение является симметричной билинейной формой:

В этих обозначениях первое соотношение ортогональности для характеров можно сформулировать так:

Теорема

. Пусть

– характеры попарно неэквалентных неприводимых представлений группы

. Тогда

Кратности неприводимых представлений. Пусть

– некоторое представление группы . Поскольку оно вполне приводимо в силу теоремы 2.3, оно эквивалентно представлению

где

– неэквивалентные неприводимые представления. Число называется кратностью представления в , и мы записываем