Представления конечных групп (стр. 7 из 11)

Пусть

– характер представления и – характер представления . Тогда

Если

, то и называют неприводимыми компонентами представления и характера соответственно.

Теорема 4.5. Пусть

– группа и

– характер некоторого ее представления. Пусть

– кратность неприводимого характера

в

. Тогда

Доказательство. Пусть разложение

в сумму неприводимых характеров имеет вид , где – кратность . Тогда

Теорема 4.6. Пусть

– представления группы

, а

– их характеры. Тогда

и

эквивалентны в том и только том случае, когда

.

Доказательство. В силу предыдущей теоремы кратности компоненты

в и определяются характерами последних. Поскольку каждое представление группы вполне приводимо, представления и эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление имеет в и одну ту же кратность. Таким образом, тогда и только тогда, когда .

Пусть

– характер правого регулярного представления группы порядка . Отметим, что

Для характера

произвольного неприводимого представления выполняется соотношение

равно степени представления ). Следовательно, справедлива следующая

Теорема 4.7. Пусть

– характер правого регулярного представления группы

. Тогда каждое неприводимое представления

этой группы входит в

с кратностью

, где

– степень представления

. Таким образом,

где суммирование ведется по всем неприводимым характерам

группы .

Заметим, что правое и левое регулярные представления эквивалентны, поскольку характер

левого регулярного представления также удовлетворяет равенству (4.8). Поэтому .

Теорема 4.7 утверждает, что каждый неприводимый характер входит в

в качестве компоненты, и поэтому имеет лишь конечное число неприводимых характеров. Ниже мы покажем, что число неприводимых характеров группы совпадает с числом ее классов сопряженных элементов.

Теорема 4.8. Пусть

– полный набор различных неприводимых характеров группы

. Пусть

– степень

, а

– порядок группы

. Тогда

и

для

.

Для доказательства достаточно вычислить

на элементе , используя (4.8).

Второе соотношение ортогональности для характеров. Пусть

– группа, а – ее классы сопряженных элементов. Образуем формальную сумму элементов из класса :

Определим произведение

и по правилу

где

, а суммирование ведется по . Для элемента обозначим через число пар , таких, что . Тогда для имеется в точности пар , таких, что , поскольку тогда и только тогда, когда для . Поэтому каждый элемент из появляется в правой части равенства (4.9) одно и то же число раз, т.е.