Представления конечных групп (стр. 8 из 11)

Совокупность всех элементов

для также образует класс сопряженных элементов. Обозначим этот класс через .

Тогда

Пусть

– неприводимое представление группы и – степень . Определим по правилу

Тогда

поскольку

пробегает , как и . Значит, коммутируют с и в силу теоремы 3.2

Взяв след от обеих частей равенства (4.12), мы получим

где

– характер представления и . В силу (4.10)

Подставив в это равенство (4.13), мы придем к равенству

или

Пусть

– все различные неприводимые характеры группы и – степень . Равенство (4.14) имеет место для каждого . Просуммировав (4.14) по , получим

Отсюда

Величина

равна порядку централизатора элемента в группе . Поскольку в силу (4.5) , мы получаем следующее утверждение.

Теорема 4.9. (Второе соотношение ортогональности для характеров.) Пусть

– множество всех различных неприводимых характеров группы

, и пусть

– полный набор представителей классов сопряженных элементов группы

. Тогда

где

– порядок и суммирование ведется по всем неприводимым характерам группы .

Теорема 4.10. Число различных неприводимых характеров группы

равно числу ее классов сопряженных элементов.

Доказательство. Мы воспользуемся следующим простым фактом, касающимся матриц. Пусть

есть – матрица, а есть – матрица. Если определитель квадратной матрицы , имеющий порядок , отличен от нуля, то .

Пусть

– все различные неприводимые характеры группы , а – полный набор представителей классов сопряженных элементов этой группы. Тогда по теореме

Поэтому

. В силу теоремы 4.9

Отсюда следует, что

и потому .

1.5 Индуцированные представления

Пусть

– группа и – ее подгруппа. Обозначим через и порядки групп и соответственно. Если – некоторая функция на , то через обозначим ее ограничение на . В случае когда – функция классов на , также является функцией классов на . Если – характер некоторого представления группы , то представляет собой характер ограничения представления на .