По функции
, заданной на , определим функцию на правиломполагая
для , не принадлежащих . Отметим, что является функцией классов на , даже еслм не является функцией классов на . Если не сопряжен ни с каким элементом из , то .Лемма 5.1. Пусть – функция классов на группе , а – функция классов на подгруппе группы . Тогда
Доказательство. Имеем
Вклад в сумму дают лишь такие пары
, что . Поэтому, суммируя по тем парам , для которых при некотором , получаемЕсли
– характер некоторого представления группы , то назовем индуцированным характером группы и скажем, что индуцирован с . Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы .Пусть
– множество представителей левых смежных классов группы по :Для представления
подгруппы определим матрицу так:где для
, не содержащихся в , полагаем . Это обобщение правого регулярного представления группы . Мы покажем, что– представление группы
степени , где , а – степень . При фиксированных и множество содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по , поэтому среди матриц , лишь одна ненулевая. Аналогично, множество содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по и среди матриц , также лишь одна ненулевая. Обозначим -й блок матрицы через . ТогдаПокажем, что
. Имеется единственное число , такое, что , и единственное число , такое, что . Если , то . Если же , то и , поскольку . В любом случае и следовательно, . Поскольку , матрица невырожденна. Таким образом является представлением группы .Пусть
– характер , а – характер . ТогдаТем самым мы получим
. Назовем индуцированным представлением группы и будем говорить, что индуцировано с . Сказанное суммирует следующаяТеорема 5.2. Пусть – группа и – ее подгруппа. Пусть – представление степени , а – его характер. Тогда индуцированное представление имеет степень , где , и характер