Смекни!
smekni.com

Представления конечных групп (стр. 9 из 11)

По функции

, заданной на
, определим функцию
на
правилом

полагая

для
, не принадлежащих
. Отметим, что
является функцией классов на
, даже еслм
не является функцией классов на
. Если
не сопряжен ни с каким элементом из
, то
.

Лемма 5.1. Пусть

– функция классов на группе
, а
– функция классов на подгруппе
группы
. Тогда

Доказательство. Имеем

Вклад в сумму дают лишь такие пары

, что
. Поэтому, суммируя по тем парам
, для которых
при некотором
, получаем

Если

– характер некоторого представления группы
, то назовем
индуцированным характером группы
и скажем, что
индуцирован с
. Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы
.

Пусть

– множество представителей левых смежных классов группы
по
:

Для представления

подгруппы
определим матрицу
так:

где для

, не содержащихся в
, полагаем
. Это обобщение правого регулярного представления группы
. Мы покажем, что

– представление группы

степени
, где
, а
– степень
. При фиксированных
и
множество
содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по
, поэтому среди матриц
, лишь одна ненулевая. Аналогично, множество
содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по
и среди матриц
, также лишь одна ненулевая. Обозначим
-й блок матрицы
через
. Тогда


Покажем, что

. Имеется единственное число
, такое, что
, и единственное число
, такое, что
. Если
, то
. Если же
, то
и
, поскольку
. В любом случае
и следовательно,
. Поскольку
, матрица
невырожденна. Таким образом
является представлением группы
.

Пусть

– характер
, а
– характер
. Тогда

Тем самым мы получим

. Назовем
индуцированным представлением группы
и будем говорить, что
индуцировано с
. Сказанное суммирует следующая

Теорема 5.2. Пусть

– группа и
– ее подгруппа. Пусть
– представление
степени
, а
– его характер. Тогда индуцированное представление
имеет степень
, где
, и характер