Представления конечных групп (стр. 1 из 11)

Курсовая работа

"Представления конечных групп"

Содержание

Основные обозначения

Введение

1. Представления конечных групп

1.1 Представления групп

1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп

1.3 Лемма Шура

1.4 Соотношения ортогональности для характеров

1.5 Индуцированные представления

1.6 Произведение представлений

Заключение

Список использованных источников

Основные обозначения

– группа

– порядок группы

– единичный элемент группы

– единичная подгруппа, единичная группа

– множество всех простых делителей натурального числа

– множество всех простых делителей порядка группы

– центр группы

– подгруппа Фиттинга группы

– подгруппа Фраттини группы

– коммутант группы

– централизатор подгруппы

в группе

– нормализатор подгруппы

в группе

– группа всех автоморфизмов группы

– группа всех внутренних автоморфизмов группы

-

является подгруппой группы

–

является собственной подгруппой группы

–

является максимальной подгруппой группы

–

является нормальной подгруппой

–

является субнормальной подгруппой группы

–

является минимальной нормальной подгруппой группы

– индекс подгруппы

в группе

– прямое произведение подгрупп

и

– полупрямое произведение нормальной подгруппы

и подгруппы

Введение

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема. Непустое подмножество

группы

будет подгруппой тогда и только тогда, когда

и

для всех

.

Группой называется непустое множество

с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на

, т.е. для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е.

для любых ;

3) в

существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех , что для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого

существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если

– конечное множество, являющиеся группой, то называют конечной группой, а число элементов в – порядком группы .

Подмножество

группы называется подгруппой, если – группа относительно той же операции, которая определена на . Запись означает, что – подгруппа группы , а – что – собственная подгруппа группы , т.е. и .