Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G (стр. 2 из 3)

Рассмотрим все нормальные подгруппы группы F, содержащие слова w1,...,

wk Одной из таких подгрупп является сама группа F. Пересечение всех нормальных

подгрупп, содержащих w1,..., wk, обозначим N. Можно показать, что пересечение

нормальных подгрупп всегда будет являться нормальной подгруппой. Таким

образом, N будет наименьшей нормальной подгруппой, содержащей элементы

w1,..., wk. Пусть G = F/N - фактор-группа. Напомним, что элементами фактор-

группы являются смежные классы по подгруппе N. Если u - слово, u Î F, то через

u будем обозначать смежный класс, содержащий u. Тогда в фактор-группе G

справедливы равенства 1 w = k w = 1 . Группу G будем называть группой с

образующими x1...xn и соотношениями (1) и задавать в следующем виде

1 n 1 1 k k G=<x ,...,x | u = v ,...,u = v >

(2)

На практике в каждом смежном классе группы G = F/N выбирают наиболее

"простое" слово. Если одно слово группы F можно получить из другого с

помощью алгебраических преобразований, используя соотношения (1), то в группе

G такие слова равны (точнее, они лежат в одном смежном классе).

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за-

данных образующими и соотношениями. Поскольку в конечной группе каждый

элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый

символ входит в неотрицательной степени. Действительно, если , хn = 1 (n > 1), то х

-1 = хn-1.

На множестве слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис-

ходных символов, т.е. будем считать, что x1 < x2 < ...< xn . В слове

1 k

1 k u = ta ...ta можно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего,

т.е. i 1 i t t + ¹ . Пусть имеются два слова 1 k

1 k u = ta ...ta и 1 m

1 mv= sb ...sb , где iit ,sÎ{ x1...xn}.

Будем считать, что u < v, если 1 k 1 m a + ...+a < b + ...+ b . В случае

1 k 1 m a + ...+a = b + ...+ b будем считать, что u < v, если 1 1 t < s или 1 1 t = s , но

1 1 a > b . Если 1 1 t = s и 1 1 a = b , то для сравнения слов u и v надо рассмотреть

следующие символы и т.д..

Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность

слов, расположенных по возрастанию.

1, x, y, x2 ,xy, yx, y2 ,x3 ,x2 y,xyx,xy2 , yx2 , yxy, y2 x, y3 ,...

Имея задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в G

лишь конечное число элементов. Используя соотношения (1) нужно в каждом

смежном классе выбрать наименьшее слово. Это иногда является непростой

задачей, т.к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два

слова равными в силу соотношений (1).

Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих

со всеми элементами группы. Центр группы G является подгруппой и обозначается Z(G). Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для

которых соответствующая строка в таблице умножений равна столбцу с тем же

номером.

2. Практическая часть

Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной

бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением.

G=< x, y| x²= y²=(xy)³>, n = 24.

По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e

является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной

системой образующих для нашей группы будет являться система из двух

элементов - {x, y}. Определим единицу данной группы.

xy=yxyxy² =(yxyxxyxy)xy, yxyxxyxy=e, x⁸ =y⁸ =e

2.1. Доказательство того, что в группе n элементов.

Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число

элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы

через образующие.

Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и

y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т.е. элементы x и y. Путем

дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова

длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже

имеющимся с помощью определяющих соотношений: x⁸= e , y⁸= e , x²= y²=(xy)³.

Если нам это удается, то для полученного “старого” слова

процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т.е.

дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В

итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы.

1. e

2. x

3. y

4. x²

5. xy= x² yxyx

6. yx= x³ yxy

7. x³

8. x² y =y x² = y³

9. xyx

10. x y² = y² x

11. yxy= x⁵ yx= x³ yx y²

12. x⁴ =x y² x= x² y²

13. x³ y= x y³ =xy x²

14.x² yx= yx y²= y³ x=y x³

15. xyxy=yxyx

16. x⁵ = x³ y²

17. x⁴ y = x² y x²

18. x³ y x=xyx y²

19. x² y xy=yxy x²

20. x⁶ = x⁴ y²

21. x⁵ y = x³ y x² = x⁴ yxy

22. x⁴ yx= x² yx y²

23. x⁷ = x⁵ y²

24. x⁶ y = x⁴ y x²

Данным методом мы доказали, что в нашей группе действительно 24 элемента.

1. e

2. x

3. y

4. x²

5. xy

6. yx

7. x³

8. x² y

9. xyx

10.x y²

11.yxy

12.x⁴

13.x³ y

14.x² yx

15.xyxy

16.x⁵

17.x⁴ y

18.x³ y x

19.x² y xy

20.x⁶

21.x⁵ y

22. x⁴ yx

23. x⁷

24. x⁶ y

2.2 Определение порядков элементов.

1. o(e)=1

2. o(x)=8

3. o(y)=8

4. o(x²)=4 x²x²x² x²=e

5. o(xy)=12

6. o(yx)=12

7. o(x³)=4

8. o(x² y)=4

9. o(xyx)=8

10.o(yxy)=8

11.o(x⁴)=2

12.o(x³y)=8

13.o(x²yx)=4

14.o(xyxy)=6

15.o(yxyx)=4

16.o(x⁵)=8

17.o(x⁴y)=8

18.o(x³yx)=8

19.o(x²yxy)=8

20.o(x⁶)=4

21.o(x⁵y)=8

22.o(x⁴yx)=4

23.o(x⁷)=8

24.o(x⁶y)=4

В соответствие с полученными результатами переобозначим элементы группы:

Обозначение

Элемент

x²

x³

x² y

xyx

yxyx

yxy

x⁴

x³y

x²yx

xyxy

x⁵

Обозначение	H7	H8	H9	C6	H10	C7	H11	C8
Элемент	x⁴y	x³yx	x²yxy	x⁶	x⁵y	x⁴yx	x⁷	x⁶y

2.3. Вычисление таблицы умножений данной группы. Нахождение центра группы.

Ввиду большого количества громоздких вычислений, не будем приводить их.

Скажем только то, что они основываются на базовых соотношениях x⁸= e , y⁸= e ,

x²= y²=(xy)³, а также на ряде производных соотношений.

Применяя эти рассуждения, получим таблицу умножений. Приведем все полученные элементы, а затем рассмотрим примеры их получения:

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

H11

H10

Основным методом проверки правильности составления является присутствие