Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G (стр. 1 из 3)
 |  |
 |
Московский Государственный Институт
Электронной Техники
(Технический Университет)
Курсовая работа
По дисциплине:
«Дискретная Математика»
Тема:
«Строение конечной группы 24-го порядка, заданной
образующими и определяющими соотношениями
G = < x, y | x2=y2=(xy)3> »
Выполнил: .
Группа: ЭКТ-35
Проверил: Клюшин А.В.
Москва 2009г.
Оглавление.
Титульный лист…………………………………………………………….1
Оглавление………………………………………………………………...2
1. Теоретическая часть…………………………………………………...3
1.1 Понятие группы……………………………………………………3
1.2 Определение группы. Свойства подгрупп………………………4
1.3 Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями……………………………….....5
2. Практическая часть…………………………………………………….7
2.1 Доказательство того, что в группе nэлементов………………..7
2.2 Оперделения порядка элементов…………………………………9
2.3 Вычисление таблицы умножения данной группы.
Нахождение центра группы………………………………………10
2.4 . Составление таблицы подгрупп, порожденных
двумя элементами………………………………………………………11
2.5 Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13
2.6 Структура всех подгрупп……………………………………………….14
3. Список используемой литературы…………………………………..……..15
.
1. Теоретическая часть.
1.1. Понятие группы.
Определение 1. Пусть G — некоторое множество. Бинарной операцией на G
называется произвольное отображение G ´ G ® G. Если (g1,g2)ÎG1 ´ G2, то
результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g1• g2, где (•) — знак
бинарной операции.
Определение 2. Множество G с бинарной операцией (•) называется группой, если
1) " g1 , g2,g3 Î G (g1• g2) • g3 =g1• ( g2• g3)
2) $ eÎG: e•g = g•е = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;
3) " gÎG $ g-1ÎG : g• g-1 = g-1• g = e, элемент g-1для элемента g будем
называть обратным к g.
Если к условиям 1)-3) добавить условие
4) " g1 , g2 Î G g1•g2 =g2•g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.
В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем
делать.
Результат бинарной операции (•) в дальнейшем будем называть произведением.
Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких
элементов группы можно записывать без скобок.
Определение 3. Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как
Z(G) = {g ÎG | gh = hg для любого h ÎG }.
Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым
элементом G.
Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.
Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 Î G обладают свойством
2), то e1 =e1 • е2 = e2 • e1
Предложение доказано.
Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть
только один.
Доказательство. Если два элемента g-1
1 и g-1
2 обладают свойством 3) для элемента
g, то
g1
-1 = g1
-1 • e= g1
-1 •g • g2
-1 = e • g2
-1= g2
-1
Что и требовалось доказать.
Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе
называется "таблицей Кэли".
Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и
вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g Î G и
столбца hÎG пишется элемент gh.
Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце
каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый
столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.
1.2. Определение подгруппы. Свойства подгрупп.
Определение 1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если
выполнены следующие условия
1) е Î H;
2) " h1 , h2 Î H h1 • h2 ÎH;
3) " h ÎH h-1ÎH.
Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы
умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли
каждый элемент группы встречается ровно один раз. Если элементы группы
перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать некоторая
перестановка.
Определение 2. Если H - подгруппа группы G и g Î G, то множество gH = { gh | h
Î H}
называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Соответственно,
множество Нg называется правым смежным классом.
Каждое разбиение группы G на левые (правые) смежные классы по любой
подгруппе H задает некоторое отношение эквивалентности.
Определение 3. Число элементов конечной группы или, соответственно,
подгруппы будем называть ее порядком.
Определение 4. Пусть а1,…,аn Î G. Через < а1,…,аn > будем обозначать
наименьшую подгруппу в G, содержащую элементы а1,…,аn. Если < а1,…,аn >= G,
то элементы {а1,…,аn} будем называть системой образующих группы G. Систему
{а1,…,аn} будем называть минимальной системой образующих группы G, если
после удаления любого элемента оставшееся множество уже не будет являться
системой образующих для G. Группу G будем называть циклической, если
найдется элемент g Î G такой, что <g>=G.
Теорема 2 (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.
Доказательство. Пусть G — конечная группа, Н — подгруппа. Рассмотрим
разбиение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н. Во-первых, всегда
g Î gH. Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.
Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо
совпадают. Действительно, если g3 Î g1H Ç g2H, то g3 = g1h1 = g2h2 для некоторых
h1, h2 ÎH. Но тогда g1 = g2h2h1
-1 Î g2H, а g2=g1h1h2
-1 Îg1H. Отсюда следует, что g1H
= g2Н.
Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа
элементов. Действительно, рассмотрим отображение H ® gH, задаваемое правилом
g ® gh. Разные элементы при этом отображении переходят в разные.
Действительно, если gh1=gh2, то, умножая равенство слева на g-1, получим h1= h2.
Следовательно, |Н| = |gН|. Таким образом, конечное множество G разбилось на
некоторое множество (пусть к) подмножеств, состоящих из |Н| элементов. Тогда
|G| = к •|Н|.
Теорема доказана.
Следствие. Если G - конечная группа, то порядки ее элементов являются
делителями числа |G|.
Доказательство. Если о(g) == к, то множество {g, g2,..., gk-1, е} образует подгруппу в
G.Следствие доказано.
1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими
соотношениями.
Рассмотрим алфавит из символов х, у, х -1, у -1. Конечную последовательность
символов будем называть словом. Если z - символ, договоримся записывать zn
вместо {
n
z...z . Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать
е. Кроме того, если n,m - целые числа разных знаков, то слово znzm договоримся
сокращать и записывать как zn+m. Например, х3х-4 = х -1, х2х-2 = е.
На множестве слов рассмотрим бинарную операцию (·), которую будем на-
зывать умножением. Если u=z1...zn и v = t1…tm - два слова, то их произведением
будем называть слово uv = z1...zn t1...tm, в котором произведены все возможные
сокращения. Если одно из слов равно е, то положим е·u = u·е = u. Несложно
видеть, что данная бинарная операция ассоциативна, а элемент е является
единицей. Кроме того, каждое слово имеет обратное. Действительно, если u =
z1...zn, то u-1 = 1 1
n 1 z- ...z- .
Таким образом, множество всех слов в данном алфавите с определенной
выше бинарной операцией будет группой. Эта группа называется свободной
группой с двумя образующими х, у.
Аналогично можно определить свободную группу с тремя образующими и
т.д.
Пусть F - свободная группа с образующими x1...xn. Равенство двух слов u=v
будем называть соотношением. Всякое соотношение можно записать в виде u·v-1 =
е. Пусть задана система из k соотношений
(1)