Смекни!
smekni.com

Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G (стр. 1 из 3)


Московский Государственный Институт

Электронной Техники

(Технический Университет)

Курсовая работа

По дисциплине:

«Дискретная Математика»

Тема:

«Строение конечной группы 24-го порядка, заданной

образующими и определяющими соотношениями

G = < x, y | x2=y2=(xy)3> »

Выполнил: .

Группа: ЭКТ-35

Проверил: Клюшин А.В.

Москва 2009г.

Оглавление.

Титульный лист…………………………………………………………….1

Оглавление………………………………………………………………...2

1. Теоретическая часть…………………………………………………...3

1.1 Понятие группы……………………………………………………3

1.2 Определение группы. Свойства подгрупп………………………4

1.3 Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями……………………………….....5

2. Практическая часть…………………………………………………….7

2.1 Доказательство того, что в группе nэлементов………………..7

2.2 Оперделения порядка элементов…………………………………9

2.3 Вычисление таблицы умножения данной группы.

Нахождение центра группы………………………………………10

2.4 . Составление таблицы подгрупп, порожденных

двумя элементами………………………………………………………11

2.5 Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13

2.6 Структура всех подгрупп……………………………………………….14

3. Список используемой литературы…………………………………..……..15

.

1. Теоретическая часть.

1.1. Понятие группы.

Определение 1. Пусть G некоторое множество. Бинарной операцией на G

называется произвольное отображение G ´ G ® G. Если (g1,g2)ÎG1 ´ G2, то

результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g1g2, где (•) — знак

бинарной операции.

Определение 2. Множество G с бинарной операцией (•) называется группой, если

1) " g1 , g2,g3 Î G (g1• g2) • g3 =g1• ( g2• g3)

2) $ eÎG: eg = gе = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;

3) " gÎG $ g-1ÎG : gg-1 = g-1g = e, элемент g-1для элемента g будем

называть обратным к g.

Если к условиям 1)-3) добавить условие

4) " g1 , g2 Î G g1•g2 =g2•g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.

В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем

делать.

Результат бинарной операции (•) в дальнейшем будем называть произведением.

Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких

элементов группы можно записывать без скобок.

Определение 3. Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g ÎG | gh = hg для любого h ÎG }.

Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым

элементом G.

Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 Î G обладают свойством

2), то e1 =e1 • е2 = e2 • e1

Предложение доказано.

Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть

только один.

Доказательство. Если два элемента g-1

1 и g-1

2 обладают свойством 3) для элемента

g, то

g1

-1 = g1

-1 e= g1

-1 •g • g2

-1 = e g2

-1= g2

-1

Что и требовалось доказать.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе

называется "таблицей Кэли".

Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и

вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g Î G и

столбца hÎG пишется элемент gh.

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый

столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.

1.2. Определение подгруппы. Свойства подгрупп.

Определение 1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если

выполнены следующие условия

1) е Î H;

2) " h1 , h2 Î H h1 • h2 ÎH;

3) " h ÎH h-1ÎH.

Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы

умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Если элементы группы

перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать некоторая

перестановка.

Определение 2. Если H - подгруппа группы G и g Î G, то множество gH = { gh | h

Î H}

называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Соответственно,

множество Нg называется правым смежным классом.

Каждое разбиение группы G на левые (правые) смежные классы по любой

подгруппе H задает некоторое отношение эквивалентности.

Определение 3. Число элементов конечной группы или, соответственно,

подгруппы будем называть ее порядком.

Определение 4. Пусть а1,…,аn Î G. Через < а1,…,аn > будем обозначать

наименьшую подгруппу в G, содержащую элементы а1,…,аn. Если < а1,…,аn >= G,

то элементы {а1,…,аn} будем называть системой образующих группы G. Систему

1,…,аn} будем называть минимальной системой образующих группы G, если

после удаления любого элемента оставшееся множество уже не будет являться

системой образующих для G. Группу G будем называть циклической, если

найдется элемент g Î G такой, что <g>=G.

Теорема 2 (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть G — конечная группа, Н — подгруппа. Рассмотрим

разбиение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н. Во-первых, всегда

g Î gH. Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.

Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо

совпадают. Действительно, если g3 Î g1H Ç g2H, то g3 = g1h1 = g2h2 для некоторых

h1, h2 ÎH. Но тогда g1 = g2h2h1

-1 Î g2H, а g2=g1h1h2

-1 Îg1H. Отсюда следует, что g1H

= g2Н.

Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа

элементов. Действительно, рассмотрим отображение H ® gH, задаваемое правилом

g ® gh. Разные элементы при этом отображении переходят в разные.

Действительно, если gh1=gh2, то, умножая равенство слева на g-1, получим h1= h2.

Следовательно, |Н| = |gН|. Таким образом, конечное множество G разбилось на

некоторое множество (пусть к) подмножеств, состоящих из |Н| элементов. Тогда

|G| = к •|Н|.

Теорема доказана.

Следствие. Если G - конечная группа, то порядки ее элементов являются

делителями числа |G|.

Доказательство. Если о(g) == к, то множество {g, g2,..., gk-1, е} образует подгруппу в

G.Следствие доказано.

1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими

соотношениями.

Рассмотрим алфавит из символов х, у, х -1, у -1. Конечную последовательность

символов будем называть словом. Если z - символ, договоримся записывать zn

вместо {

n

z...z . Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать

е. Кроме того, если n,m - целые числа разных знаков, то слово znzm договоримся

сокращать и записывать как zn+m. Например, х3х-4 = х -1, х2х-2 = е.

На множестве слов рассмотрим бинарную операцию (·), которую будем на-

зывать умножением. Если u=z1...zn и v = t1…tm - два слова, то их произведением

будем называть слово uv = z1...zn t1...tm, в котором произведены все возможные

сокращения. Если одно из слов равно е, то положим е·u = u·е = u. Несложно

видеть, что данная бинарная операция ассоциативна, а элемент е является

единицей. Кроме того, каждое слово имеет обратное. Действительно, если u =

z1...zn, то u-1 = 1 1

n 1 z- ...z- .

Таким образом, множество всех слов в данном алфавите с определенной

выше бинарной операцией будет группой. Эта группа называется свободной

группой с двумя образующими х, у.

Аналогично можно определить свободную группу с тремя образующими и

т.д.

Пусть F - свободная группа с образующими x1...xn. Равенство двух слов u=v

будем называть соотношением. Всякое соотношение можно записать в виде u·v-1 =

е. Пусть задана система из k соотношений

(1)