Формирование понятия функции в курсе математики средней школы (стр. 4 из 9)

Так как по определению f(-x) = -f(x) и

(-x) = - (x), то

(-x) = f(-x) + (-x) = -f(x) - (x) = - (f(x) + (x)) = - (x)

(-x) = f(-x) - (-x) = -f(x) + (x) = - (f(x) - (x)) = - (x).

Полученные равенства означают, что

(x) и (x) – нечётные функции.

Свойство 2. Если y = f(x) и y =

(x) – нечётные функции, то их произведение и частное есть функция чётная.

Доказательство

Пусть функции y = f(x) и y =

(x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций Ф (x) и Ф (x) соответственно:

Ф

(x) = f(x) (x); Ф (x) = ( (x) 0).

Учитывая, что функции f(x) и

(x) – нечётные, будем иметь:

Ф

(-x) = f(-x) (-x) = (-f(x)) (- (x)) = f(x) (x) = Ф (x);

Ф

(-x) = = = = Ф (x).

Полученные равенства доказывают, что Ф

(x) и Ф (x) функции чётные.

Свойство 3. Если y = f(x) и y =

(x) – чётные функции , то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.

Пусть функции y = f(x) и y =

(x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций G (x),

разность функций G

(x), произведение функций G (x), частное данных функций G (x) соответственно:

G

(x) = f(x) + (x); G (x) = f(x) - (x); G (x) = f(x) (x);

G

(x) = ( 0).

Докажем, что G

(x), G (x), G (x), G (x) – чётные функции.

Доказательство

Учитывая, что f(x) и

(x) – чётные функции будем иметь:

G

(-x) = f(-x) + (-x) = f(x) + (x) = G (x);

G

(-x) = f(-x) - (-x) = f(x) - (x) = G (x);

G

(-x) = f(-x) (-x) = f(x) (x) = G (x);

G

(-x) = = = G (x).

Свойство 4. Если y = f(x) – чётная функция, а y =

(x) – нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.

Пусть функции y = f(x) и y =

(x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению

F(-x) = f(x),

(-x) = - (x).

Обозначим произведение данных функций Q(x) = f(x)

(x). Докажем, что Q(x) функция нечётная.

Доказательство

Учитывая, что f(x) – функция чётная, а

(x) – функция нечётная, будем иметь:

Q(-x) = f(-x)

(-x) = f(x) (- (x)) = -f(x) (x) = -Q(x).

Полученное равенство означает, что функция Q(x) нечётная.

Свойство 5. Всякую функцию, определённую на множестве X, симметричную относительно нуля, можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве X и одна из которых чётная, а другая нечётная.

Доказательство

Пусть функция y = f(x) имеет область определения X, симметричную относительно нуля.

Покажем, что существуют функции y =

(x) и y = (x), каждая из которых определена на том же множестве X, и они такие, что

y =

(x) + (x) = f(x), где y = (x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функции.

Положим

(x) = ; (x) = .