Формирование понятия функции в курсе математики средней школы (стр. 6 из 9)

A (sin (m (x + T) +

) – sin (mx + ) = 0.

Применяя формулу разности синусов, будем иметь:

2А sin

cos = 0

2А sin

cos = 0

2А sin

cos = 0

2А sin

cos = 0

Это произведение должно равняться нулю независимо от значений х.

Так как х - переменная величина, то 2cos

0, А 0 по условию, тогда sin = 0, откуда следует

= , или , где n Z.

Из множества значений Т наименьшее положительное значение получим при наименьшем положительном значении n = 1, значит период данной функции

.

Заметим, что период функции у = А sin (mx +

) не зависит от A и .

Аналогично можно найти основные периоды и остальных тригонометрических функций.

Таким образом, функции

y = sinxи y = cosxимеют основной период Т = 2

у = tgxи у = ctgxимеют основной период Т =

,

а функции у = sin (mx +

) и у = cos(mx + ) имеют основной период Т = .

Функции у = tg (mx +

) и у = ctg (mx + ) имеют основной период Т = .

Отметим некоторые свойства периодических функций. Заметим, что сумма разность, произведение и частное двух периодических функций может быть функцией как периодической, так и не периодической.

Теорема 1. Если периодические функции y = f₁ (x) и y = f₂ (x), xÎX, имеют один и тот же период T, то их сумма, разность, произведение тоже будут периодическими функциями и число Т будет их периодом.

ДоказательствоТак как функция y = f₁ (x) – периодическая с периодом Т ¹ 0, то для любого xÎX выполняется равенство

f₁ (x +Т) = f₁ (x) (1)

Так как функция y = f₂ (x) – периодическая с периодом Т ¹ 0, то для любого xÎX выполняется равенство

f₂ (x +Т) = f₂ (x) (2)

Рассмотрим функцию z (x) = f₁ (x) ±f₂ (x), заданную на множестве X. Тогда для любого xÎX согласно равенствам (1) и (2) будем иметь

z (x +T) = f₁ (x +T) ± f₂ (x +Т) = f₁ (x) ± f₂ (x) = Z (x).

Последнее равенство доказывает периодичность функции z (x) представляющей собой сумму или разность двух периодических функций с одним и тем же периодом Т.

Рассмотрим функцию t (x) = f₁ (x)×f₂ (x), заданную на множестве Х. Тогда для любого xÎX согласно равенствам (1) и (2) будем иметь

t (x +T) = f₁ (x +T) ×f₂ (x +Т) = f₁ (x) ×f₂ (x) = t (x).

Данное равенство доказывает периодичность функции t(x) представляющей собой произведение двух периодических функций с одним и тем же периодом Т, причем число Т является периодом как функции t(x), так и функции z(x).

Замечание.Если число Т было наименьшим положительным периодом (т.е. основным периодом) двух заданных функций, то после их сложения или умножения Т может перестать быть наименьшим из положительных периодов.

Пример 5. Функция f₁ (x) = 3 sinx + 2 имеет основной период 2p, функция f₂ (x) = 2 – 3 sinx имеет основной период 2p, а их сумма

z (x ) = f₁ (x) +f₂ (x) = 3 sin x + 2 + 2 – 3 sin x = 4

наименьшего положительного периода не имеет, так как при любом действительном значении a¹ 0 z(x+a) = z(x), т.е. любое действительное число является периодом функции z(x), а наименьшего положительного среди действительных чисел нет.

Пример 6. Функция j₁(x) = sinx +1 и j₂(x) = 1- sinx имеют наименьший положительный период 2p, а для произведения

t(x) = j₁(x) ×j₂(x) = (sin x +1)(1- sin x) = 1- sin²x = cos²x =

наименьшим положительным периодом есть число p .

Определение Периоды функций Т₁ и Т₂ называются соизмеримыми, если существуют такие целые отличные от нуля числа m и n, что m×T₁ = n×Т₂.

Пример 7. Выясним, являются ли соизмеримыми периоды Т₁ =

и

Т₂=

Решение. Данные периоды будут соизмеримыми, если уравнение

×m = ×n имеет решение на множестве Z \ {0}. Умножим обе части данного уравнения на 6 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 2), получим равносильное уравнение 4m = 15n, откуда m = 15k, n = 4k, где kÎZ \ {0}. Например, при k = 1 получим

× 15 = ×4 = 10

Ответ: Периоды Т₁ и Т₂ соизмеримы.

Теорема 2. Если периодические функции y = f₁(x) и y = f₂(x), xÎX, имеют соизмеримые периоды Т₁ и Т₂ то они имеют общий период.

Доказательство. Так как периоды Т₂ и Т₂ соизмеримы, то существуют целые отличные от нуля числа m и n такие, что m×T₁ = n×T₂ = T¹ 0. Следовательно, Т – общий период функций y = f₁(x) и y = f₂ (x). Теорема доказана.

Замечание. По теореме 1 число Т будет также периодом функций

z (x)= f₁(x) ± f₂ (x), t(x) = f₁(x) f₂ (x).

Пример 8. Найти период функции

f(x) = sin2x + 3sin(3x-2) -

cos( x +1).

Решение. Так как период синуса равен 2p, функция sin2x имеет период

= p функция sin(3x-2) = sin(3x-2 + 2p) = 3sin3(x- + ) и ее период равен . Аналогично, функция - cos( x +1) имеет период = p.

Для того, чтобы найти общий период функции, представим периоды

Т₁ = p; Т₂ =

p и Т₃ = p в другом виде, а именно, коэффициенты при p в полученных периодах приведем к общему знаменателю, получим

Т₁ =

p = 6× ; Т₂ = p = 4× и Т₃ = p = ×p и найдем наименьшее общее кратное числителей этих коэффициентов 6, 4 и 15. Оно равно 60. Следовательно, число Т = 60× = 10p – основной период данной функции.

Пример 9. Найти период функции y = cos5x-sin2x.

Решение. Функция y = cos5x имеет период T₁ =

; функция y = sin2x – период Т₂ = = p. Представим периоды Т₁ и Т₂ в другом виде: Т₁ = 2× ; Т₂ = 5× . Таким образом видно, что периоды Т₁ и Т₂ соизмеримы: 5Т₁ = 2Т₂, откуда 5× = 2×p = 2p. Следовательно, число 2p является периодом данной функции.