Формирование понятия функции в курсе математики средней школы (стр. 7 из 9)

Пример 10. Найти основной период функции y = sin²x.

Решение. Понизим степень функции y = sin²x. Тогда y =

=

- cos2x. Период этой функции равен периоду cos2x = p. Таким образом основной период данной функции равен p.

Замечание. Если Т₁ и Т₂ – основные периоды функций f₁(x) и f₂(x), то наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее условиям:

Т = mT₁ = nT₂, где m, nÎZ \ {0}, не обязательно является основным периодом функций f₁(x) ±f₂(x) и f₁(x) ×f₂(x).

Например, основные периоды функций y = cos2x + sinx и y = -sinx равны 2p, а основной период их суммы y = cos2x равен p.

Или, вернемся к примеру 6 и посмотрим на функцию y = sin²x как на произведение функций y = sinx×sinx. Основной период функции y = sinx есть число 2p, но решая пример 6, мы показали, что основной период функции

y = sin²x равен p.

Заметим, что сложная функция, промежуточным аргументом которой служит периодическая функция, есть функция периодическая, причем периоды этих функций совпадают. Докажем

Теорему 3. Если y = f(j(x)) – сложная функция, где j(x) – периодическая функция с периодом Т, то и сложная функция периодическая с периодом Т.

Доказательство. Так как j(x) – периодическая функция с периодом Т, то для любого действительного xиз области определения функции j(x) имеем

j(x + Т) = j(x),

тогда для функции y = f(j(x)) при любом действительном х из области определения функции j(x) будем иметь

j(x + Т) = f (j(x)) = f(j(x)) = y(x).

Последнее равенство доказывает, что функция y = f(j(x)) периодическая с периодом Т.

Пример 11. Функция y = cos3x периодическая с периодом

= p. В силу теоремы 3 функция y = 5cos²2x + +3 периодическая с периодом p.

Рассмотрим примеры на доказательство периодичности или не периодичности функций.

Пример 12. Доказать, что функция y = sin

не является периодической.

Доказательство.I способ: D(y) = [0;+¥). Пусть положительное число

Т – период данной функции, тогда должно выполнятся условие (х-Т) ÎD(y), для любого xÎD(y). Но при x = 0 (х-Т) ÏD(y), следовательно, T > 0 не является периодом функции.

Докажем, что Т < 0 не может быть периодом функции y = sin

.

Если T < 0 – период данной функции, то должно выполнятся условие (х + Т) ÎD(y) для любого xÎD(y). Но при x = 0 (х + Т) ÏD(y), следовательно, T < 0 не является периодом функции.

II способ: Предположим, что функция y = sin

имеет период, равный Т. Тогда y = sin = y = sin при любом действительном xÎD(y). При x = 0 будем иметь, что sin = sin 0 = 0. Значит

= pn, (1)

а при x = T получим sin

= sin = 0. Следовательно,

sin

= pk. (2)

Разделив почленно (2) на (1) при n¹ 0, получим

= = , чего не может быть, так как число иррациональное.

Пример 13. Доказать, что функция y = cos² x не является периодической.

Доказательство. Пусть данная функция имеет период Т ¹ 0. Тогда для любого xÎD(y) (D(y) = R) должно выполнятся равенство

cos (x+T)² = cos x²или

cos (x+T)² - cosx² = 0

Преобразуем данное равенство по формуле разности косинусов, получим

2 sin

× sin

2sin (x² + T×x +

) × sin (T×x + ) = o

Это произведение должно равняться нулю независимо от значений переменной величины x, а это невозможно, sin (T×x +

) ¹o и

sin(x² + T×x +

) ¹ 0. Значит допущение, что функция y = cos² x периодическая неверно, т.е. данная функция не является периодической.

Пример 14. Доказать, что функция y = |sin (x)| является периодической с периодом p.

Доказательство.D(y) = R. Пусть периодом данной функции будет число Т ¹ 0. Тогда

|sin (x + Т)| = |sin (x)| (3)

Это равенство будет выполнятся в двух случаях:

1) sin (x + Т) = sin (x) и тогда

sin (x + Т)-sin (x) = 0

2 cos (x +

)×sin = 0.

Это произведение должно равняться нулю независимо от переменной x, а это возможно только при sin

= 0. Откуда

= pk и Т = 2pk, что приводит к основному периоду 2p.

2) sin (x + Т) = -sin (x). (4)

Тогда sin (x + Т) +sin (x) = 0 и

2 sin (x +

)×cos = 0.

Откуда

= и Т = pn, что приводит к основному периоду Т = p. Так как при Т = p выполняется равенство (4), следовательно, и равенство (3). Значит, Т = p есть период функции y = |sin (x)|.

§5 Тестовые контрольные работы по теме «Числовые функции. Сложная функция. Четные нечетные функции. Периодические функции»

Рассмотрим комплект тестовых заданий по теме «Числовые функции. Сложная функция. Четные нечетные функции. Периодические функции».

При разработке данного комплекта тестовых заданий учитывались следующие моменты:

1) содержание заданий, вопросов охватывает наиболее принципиальные стороны и идеи темы;

2) в задания сделан акцент не на проверку навыков, а на выявление глубины освоения идейного содержания темы, проявлению математической эрудиции;

3) по усмотрению учителя тестовое задание может предлагаться ученикам не полностью, а частями.

4) задания обеспечивают возможность проведения итоговых занятий на заключительном этапе изучения понятия функции в школьном курсе математики.

Комплект тестовых заданий составлен в четырех вариантах и включает двенадцать вопросов. На каждый из них дается четыре ответа для выбора правильного из них. Вопросы в заданиях предлагаются в текстовой и графической формах. Задания рассчитаны на 45 минут работы школьника.

Вариант I

1. Какое равенство не задает функцию?

а) y² = x²; б) y = x²; в) y = lgx; г) y =

.

2. На каком из рисунков изображено множество точек координатной плоскости, которое нельзя рассматривать как график функции?

3) Для каких функций f и g равенство f(g(x)) = x верно не на всей области определения функции f(g(x)) ?

а) f(x) = tg(x), g(x) = arctg x; б) f(x) =

, g(x) = x³;

в) f(x) = x², g(x) =

; г) f(x) = , g(x) = x².

4) Даны функции f(x) = x² и g(x) =

. Какая запись в таком случае верна?

а) f(g(x)) = (

)²; б) f(g(x)) = ;

в) f(g(x)) = |x|; г) f(g(x)) = x.

5) На каком из рисунков изображен график четной функции?