Слово «пирамида» в геометрию ввели греки,
которые, как полагают, заимствовали его
у египтян, создавших самые знаменитые
пирамиды в мире. Другая теория выводит
этот термин из греческого слова «пирос»
(рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы,
имевшие форму пирамиды.
| Определение. Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1A2…An, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. | |
| Этот n – угольник A1A2…An называется основанием пирамиды. | |
| Остальные (треугольные) грани называются боковыми гранями (A2PA3, …, AnPA1) | |
| Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды (P). | |
| Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются её боковыми рёбрами (PA1, PA2, …, PAn) | |
| Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой поверхностью. | |
| Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды (РН). | |
| Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. | |
| Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы равны друг другу. | |
| Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n-угольной. Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его рёбра равны (т.о. все грани правильного тетраэдра – равные правильные треугольники). | |
| Некоторые свойства правильной пирамиды:· Все боковые рёбра равны между собой· Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники· Все двугранные углы при основании равны· Все плоские углы при вершине равны· Все плоские при основании равны· Апофемы боковых граней одинаковы по длине· В любую правильную пирамиду можно вписать сферу | |
| Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней. | Sполн=Sбок+Sосн |
| Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней. | |
| Площадь боковой грани | Sбок.гр.=1/2*m*/g/, где m– апофема, /g/ - основание грани |
| Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. | Sбок=1/2 * (Pосн* m), где m – апофема, Р – периметр многоугольника основания. |
| Объём пирамиды. | V=(1/3)*Sосн*h |
Усечённая пирамида.
| Определение. Усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2…An и B1B2…Bn (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и nчетырёхугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn.Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды. | |
| Основания усечённой пирамиды – основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A1A2…An и B1B2…Bn). | |
| Отрезки A1B1, A2B2, …, AnBnназываются боковыми рёбрами усечённой пирамиды. | |
| Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды (СН). | |
| Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции. | |
| Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…Anи B1B2…Bnобозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn. | |
| Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. | |
| Высоты этих трапеций называются апофемами (КК1) | |
| Свойства усечённой пирамиды: | 1. Боковые рёбра и высота пирамиды разделятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки2. В сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, ежащеему в основании3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды |
| Теорема. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площади оснований. | |
| Площадь поверхности усечённой пирамиды | S=(1/2)*m*(P+P1), где m– апофема |
| Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. | Sбок=1/2*(Рв+Рн)* m, где m– апофема, Рв, Рн – периметр верхнего и нижнего оснований |
| Объёмусечённой пирамиды: | V=(1/3)*h*(S1+√S1S2+S2), где S1, S2 – площади оснований. |
| Площадь боковой грани | Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), гдеm– апофема, g, g1 – основания боковой грани |
Тетраэдр.
| Определение. Тетраэдр – поверхность, составленная из четырёх треугольников. Любая грань может быть принята за основание пирамиды.Тетраэдр является частным случаем пирамиды. | |
| Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB, DBC, DCAобозначается так: DABC | |
| Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями. | |
| Стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются рёбрами. | |
| Вершины треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются вершинами тетраэдра. | |
| Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. | |
| Иногда выделяют одну грань тетраэдра и называют её основанием, а три другие – боковыми гранями. | |
| Медианы тетраэдра – отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. | |
| Тетраэдр, все грани которого равны, называется равногранным. | |
| Свойства равногранного тетраэдра: | |
| Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, называется прямоугольным | Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»:S2=S21+S22+S23 |
| Тетраэдр, составленный из четырёх равносторонних треугольников, называется правильным. | |
| Объём правильного тетраэдра. | V=(a3*√2)/12 |
| Радиус описанной сферы в правильном тетраэдре | R=(a*√6)/4 |
| Высота правильного тетраэдра | H=(a*√6)/3 |
| Площадь поверхностиправильного тетраэдра | S=a2*√3 |
| Радиус вписанной окружности правильного тетраэдра | r = (a*√6)/12 |
Список используемой литературы
[1] В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.