Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 10 из 14)

Обозначим через

- класс всех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы

Теорема. Пусть

- такой набор конгруэнций

-алгебры A, что

. Пусть

прямое произведение факторалгебр и

Тогда

- мономорфизм алгебры в алгебру и входит подпрямо в ., класс является формацией. Обычно вместо пишут . Подгруппа называется коммутантом группы . В теории групп хорошо известно, что если - конечная -группа, то . Легко проверить, что если , то

Теорема 20.8. Пусть

- конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из

либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка

является цепью, когда существует такое простое число

, что каждая группа в

является элементарно абелевой

-группой.

Доказательство. Мы сначала предположим, что каждая группа в

является элементарно абелевой -группой. Тогда для каждого кардинального числа , мы полагаем (см. пример 20.2). Понятно, что влечет, что . Для доказательства того, что является цепью нам необходимо только показать, что для любого подгруппового функтора со свойством найдется кардинальное число такое, что

Предположим, что

для всех кардинальных чисел . Тогда . Поскольку , то найдется группа такая, что для некоторой ее подгруппы мы имеем . Пусть . Поскольку , найдется группа такая, что для некоторой ее подгруппы мы имеем . По лемме 20.6, мы видим, что для всех подгрупп из , удовлетворяющих условию , мы имеем . Следовательно, . Используя лемму 20.7, мы видим, что имеется подгруппа в группе такая, что

Но

, и поэтому . Если - канонический эпиморфизм, который отображает на , то , и поэтому . Это противоречие показывает, что для некоторого кардинального числа имеем место .

Так как

и так как каждая группа в - либо конечна, либо счетна, то найдется натуральное число такое, что . Пусть - наименьшее натуральное число такое, что . Мы покажем, что . Предположим, что и пусть - группа из такая, что . В этом случае пусть . Тогда . Теперь, по выбору числа , мы имеем . Это означает, что найдется группа такая, что для некоторой подгруппы из с . Пусть - подгруппа в такая, что и . Тогда . Так как , мы имеем , и поэтому . Но тогда , и поэтому , противоречие. Следовательно Значит, .