Смекни!
smekni.com

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 11 из 14)

Теперь мы предположим, что решетка

является цепью. Пусть
и
- конечная группа. Предположим, что порядок
группы
делится по крайней мере на два простых числа
и
. Пусть

И пусть

- силовская
-подгруппа в
и
- силовская
-подгруппа в
, соответственно. Тогда

Значит,

и
. Это показывает, что
не является цепью, что противоречит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число
, что каждая конечная группа из
является
-группой.

Мы теперь покажем, что каждая группа в

является абелевой. Предположим, что это не так и пусть
- неабелева группа в
. В этом случае некоторая ее подгруппа
, порожденная элементами
, является конечной неабелевой
-группой. Так как по условию класс
является наследственным, то
. Пусть
, где
- класс всех абелевых групп. Поскольку
, то
, и поэтому
. Следовательно, мы имеем
. Теперь пусть
где
. И пусть
- коммутант подгруппы
,
. Тогда
и ясно, что
. Значит,
. Но поскольку
, мы имеем
. Таким образом,
не является цепью. Полученное противоречие показывает, что каждая группа в
является абелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из
делит число
.

Теорема доказана.

Пересечение всех конечных многообразий, содержащих данную группу

, называется конечным многообразием, порожденным
. Из теоремы 20.8 вытекает

Теорема 20.9. Пусть

- конечная группа и
- конечное многообразие, порожденное
. Тогда в том и только в том случае
является элементарной абелевой
-группой, когда решетка
является цепью.

Пусть

и
- подгрупповые
-функторы. Определим произведение
при помощи следующего правила

Понятно, что подгрупповой

-функтор
является замкнутым тогда и только тогда, когда
. Мы используем символ
для обозначения произведения
, в котором имеется
сомножителей.

Пусть

- произвольное непустое множество простых чисел. Подгруппа
группы
называется
-холловской
, если ее индекс
в
не делится ни на одно число из
, а среди простых делителей ее порядка
нет ни одного не входящего в
. Символом
обозначают множество всех простых чисел, отличных от
.