Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 12 из 14)

Конечная группа

называется нильпотентной, если выполняется одно из эквивалентных условий:

а) все силовские подгруппы нормальны в

;

б) все максимальные подгруппы (т.е. коатомы решетки

) нормальны в .

Лемма 24.9 Пусть

- наследственный гомоморф конечных групп. Пусть

- замкнутый подгрупповой функтор на

Пусть

- нильпотентная группа в

и

Предположим, что

, где

- простое число. Пусть

- нильпотентная группа в

такая, что

и

Тогда

Доказательство. Пусть

- холловская -подгруппа в и Предположим, что Тогда

и поэтому

, где - силовская -подгруппа в . Тогда противоречие. Следовательно, и поэтому найдется максимальная подгруппа в така1я, что и . Так как - нильпотентная группа, то и поэтому согласно лемме 24.6, мы имеем Теперь мы докажем, что Если то по определению подгруппового функтора мы сразу имеем . Пусть и пусть - максимальная подгруппа в такая, что Тогда и так как

Так как

мы видим, что и поэтому Следовательно, . Если где - максимальная подгруппа в то Но и поэтому мы видим, что Лемма доказана.

Лемма 24.10 Пусть

- наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и

Пусть

Если

- идемпотент в

, удовлетворяющий условию

и

, где

тогда

Доказательство. Предположим, что

Тогда найдется группа с Мы можем предполагать, что - группа минимального порядка с этим свойством. Следовательно, содержит подгруппу такую, что , но Ясно, что Пусть - максимальная подгруппа в такая, что и пусть Так как для каждого , мы имеем Понятно, что и поэтому Так как группа нильпотентна, то и поэтому по лемме 24.6, Так как мы видим, что для всех Следовательно, и поэтому по выбору группы , мы имеем Так как по условию то найдется такая группа , что для некоторой ее подгруппы мы имеем и Используя теперь лемму 24.9, мы видим, что и поэтому

Полученное противоречие показывает, что

Но согласно нашему предположению, мы имеем Следовательно,