Смекни!
smekni.com

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 13 из 14)

Пусть

- решетка. Подмножество
называется антицепью в
если для любых различных элементов
и
из
, мы имеем
и
Если
- антицепь в
такая, что
для любой другой антицепи
, тогда кардинальное число
называется шириной решетки
.

Если

- произвольная совокупность групп, то символом
обозначается множество всех простых делителей порядков групп из
.

Теорема 24.11 Пусть

- конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в
конечная. Тогда ширина
решетки
всех идемпотентов в
конечна и
в том и только в том случае, когда
состоит из нильпотентных групп и

Доказательство. Прежде мы предположим, что формация

нильпотентна и
, где
Пусть
Предположим, что имеется замкнытый функтор
в
такой, что
и
для
Мы покажем, что
Действительно, если
, тогда найдется группа
такая, что для некоторой подгруппы
из
, мы имеем
Мы можем считать, что
- группа минимального порядка с этим свойством. Понятно, что
Пусть
- такая максимальная подгруппа в
, что
. Согласно условию, класс
является наследственным. Следовательно,
, и поэтому ввиду выбора группы
, мы имеем
Пусть
Так как
то найдется группа
такая, что
Таким образом, для некоторой подгруппы
мы имеем
и поэтому по лемме 4.9,
Это означает, что
противоречие. Следовательно,
Значит, если
- замкнутый функтор в
и
то для некоторого
мы имеем
По лемме мы видим, что ширина
решетки
равна

Теперь мы предположим, что ширина

решетки
конечна и
Пусть
Если
и
тогда
и
и поэтому
Это означает, что
- конечное множество. Теперь мы покажем, что
- класс нильпотентных групп. Предположим, что
имеет ненильпотентную
. Пусть
и пусть
- силовская
-подгруппа в
. Тогда
Так как
- ненильпотентная группа, то для некоторого
имеет место
. Хорошо известно (см., например, [], теорема), что
не является субнормальной подгруппой в
, и поэтому
где
(см. пример 21.4). С другой стороны, мы видим, что
и поэтому
Это показывает, что
антицепь
с
противоречие. Таким образом,
- формация, состоящая из нильпотентных групп. А по лемме 4.10,
Теорема доказана.