Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 2 из 14)
- совокупность всех нормальных подгрупп группы 
; 
- группа порядка 
;Скобки
применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп. 
- подгруппа, порожденная элементами 
и 
. 
- подгрупповой 
- функтор или подгрупповой функтор на , где - некоторый класс групп; 
- совокупность всех - подгрупп группы ; 
- тривиальный подгрупповой - функтор; 
- единичный подгрупповой - функтор; 
- ограничение подгруппового - функтора на класс групп 
; 
- пересечение системы подгрупповых - функторов 
; 
- решётка всех подгрупповых 
- функторов; 
- решётка всех замкнутых подгрупповых - функторов;Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:
- класс всех групп; 
- класс всех абелевых групп;1. Общие определения и обозначения
Бинарной алгебраической операцией на множестве
называют отображение декартова квадрата 
во множество . Если 
- бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре 
элементов из соответствует однозначно определенный элемент 
. Бинарную операцию на обозначают одним из символов: 
и т.д. Если, например, вместо 
условимся писать 
, то вместо 
пишем 
.Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если
для всех 
.Если
для всех 
, то операция называется ассоциативной.Если
для всех , то операция называется коммутативной.Элемент
называется единичным, если 
для всех 
.Обратным к элементу
называется такой элемент 
, что 
.Полугруппой называется непустое множество
с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:(1) операция определена на
, т.е. 
для всех и 
;(2) операция ассоциативна, т.е.
для любых 
.Группой называется непустое множество
с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:(1) операция определена на
, т.е. 
для всех и 
;(2) операция ассоциативна, т.е.
для любых 
;(3) в
существует единичный элемент, т.е. такой элемент 
, что для всех 
;(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого
существует такой элемент 
, что .Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.
Если
- конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число 
элементов в - порядком группы .Также группой называется непустое множество
с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:(1) операция определена на
;(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения
, 
имеют решения для любых элементов 
.