Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 3 из 14)

Подмножество

группы называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: - подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество

конечной группы называется подгруппой, если для всех и

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть

- группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы .

Аналогично определяется левый смежный класс

Если

- конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы в группе и обозначается через .

Подгруппа

называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается так: - нормальная подгруппа группы Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Пусть

- нормальная подгруппа группы . Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе , т.е. . Группа называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается через .

Условимся через S

обозначать совокупность всех подгрупп группы , содержащих подгруппу . В частности, S = S - совокупность всех подгрупп группы , а S .

Каждая нормальная подгруппа

группы определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы

называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е.

для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа

субнормальна в , то пишут ( ).

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Собственная подгруппа

неединичной группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы

и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов

и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .