Смекни!
smekni.com

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 4 из 14)

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы

, называется коммутантом группы
и обозначается через
. Таким образом,
.

Для любой неединичной подгруппы

можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер

такой, что
, то группа
называется разрешимой.

Если

- непустое подмножество группы
и
, то

Элемент

называется перестановочным с подмножеством
, если
. Равенство
означает, что для любого элемента
существует такой элемент
, что
. Если элемент
перестановочен с подмножеством
, то

Совокупность всех элементов группы

, перестановочных с подмножеством
называется нормализатором подмножества
в группе
и обозначается через
. Итак,

Пусть

и
- мультипликативные группы. Отображение
называется гомоморфизмом группы
в группу
, если
для любых
и
.

Если

- подмножество группы
, то
образ
при гомоморфизме
, а
- образ гомоморфизма
. Образ гомоморфизма
также обозначают через
.

Ядром гомоморфизма

называется множество
где
- единичный элемент группы
. Другими словами, в ядре собраны все элементы группы
, переходящие при отображении
в единичный элемент группы
.

Гомоморфизм

называется мономорфизмом, если
. Из леммы 1 следует, что гомоморфизм
является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение
- инъекция.

Если

, то гомоморфизм
называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае
- сюръекция.

Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.

2. Используемые результаты

Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть

- нормальная подгруппа группы
. Тогда:

(1) если

- подгруппа группы
и
, то
- подгруппа факторгруппы
;

(2) каждая подгруппа факторгруппы

имеет вид
, где
- подгруппа группы
и
;

(3) отображение

является биекцией множества S
на множество S
;

(4) если

S
, то
- нормальная подгруппа группы
тогда и только тогда, когда
- нормальная подгруппа факторгруппы
.

Лемма 1.2Пусть

- гомоморфизм группы
в группу
. Тогда:

(1) единичный элемент

группы
переходит в единичный элемент
группы
, т.е.
;

(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е.

для всех
;

(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы

, т.е.
;