Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы
, называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом, .Для любой неединичной подгруппы
можно построить цепочку коммутантовЕсли существует номер
такой, что , то группа называется разрешимой.Если
- непустое подмножество группы и , тоЭлемент
называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , тоСовокупность всех элементов группы
, перестановочных с подмножеством называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,Пусть
и - мультипликативные группы. Отображение называется гомоморфизмом группы в группу , если для любых и .Если
- подмножество группы , то образ при гомоморфизме , а - образ гомоморфизма . Образ гомоморфизма также обозначают через .Ядром гомоморфизма
называется множество где - единичный элемент группы . Другими словами, в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении в единичный элемент группы .Гомоморфизм
называется мономорфизмом, если . Из леммы 1 следует, что гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение - инъекция.Если
, то гомоморфизм называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае - сюръекция.Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.
Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда:
(1) если
- подгруппа группы и , то - подгруппа факторгруппы ;(2) каждая подгруппа факторгруппы
имеет вид , где - подгруппа группы и ;(3) отображение
является биекцией множества S на множество S ;(4) если
S , то - нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа факторгруппы .Лемма 1.2Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:
(1) единичный элемент
группы переходит в единичный элемент группы , т.е. ;(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е.
для всех ;(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы
, т.е. ;