(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы
, т.е. ;(5) тогда и только тогда
где когда .Лемма 1.3Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:
(1) если
, то ;(2) если
, то ;(3) если подмножества
и сопряжены в , то и сопряжены в .Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если - гомоморфизм, то .
Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда для любой подгруппы пересечение является нормальной подгруппой в подгруппе , а отображение
является изоморфизмом групп
и .Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если и - нормальные подгруппы группы , причем , то изоморфна .
Лемма 3.1 Пусть - формация, . Тогда
Лемма 20.6. Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда .
Лемма 20.7. Пусть , - элементарно абелевы -группы с . Тогда имеет подгруппу такую, что .
Теорема. Пусть - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть
прямое произведение факторалгебр иТогда
- мономорфизм алгебры в алгебру и входит подпрямо в .Теорема 20.8. Пусть - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в является элементарно абелевой -группой.
Теорема 20.9. Пусть - конечная группа и - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае является элементарной абелевой -группой, когда решетка является цепью.
Лемма 24.9 Пусть - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть - замкнутый подгрупповой функтор на Пусть - нильпотентная группа в и Предположим, что , где - простое число. Пусть - нильпотентная группа в такая, что и Тогда
Лемма 24.10 Пусть - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и Пусть Если - идемпотент в , удовлетворяющий условию и , где тогда
Теорема 24.11 Пусть - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в конечная. Тогда ширина решетки всех идемпотентов в конечна и в том и только в том случае, когда состоит из нильпотентных групп и