Пусть
некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия: 1) для всех ;2) для любого эпиморфизма
, где А, и для любых групп и имеет место иПодгрупповой
-функтор называется:1) замкнутым, если для любых двух групп
и имеет место ;2) тривиальным, если для любой группы
имеет место ;3) единичным, если для любой группы
система состоит из всех подгрупп группы G.Тривиальный подгрупповой
-функтор обозначается символом , а единичный - символом .Если
и - подгрупповой -функтор, то - такой подгрупповой -функтор, что для всех . Такой функтор называется ограничением функтора на классе .Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда
- класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.Пример 1. Пусть для любой группы
,Понятно, что
- замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись .Пример 2. Пусть
- совокупность всех нормальных подгрупп группы для каждой группы . Такой функтор в общем случае замкнутым не является.Пример 3. Пусть
- произвольное натуральное число. Для каждой группы через обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых . Понятно, что - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .Пример 4. Пусть
- произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы .Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись
.Если
- подгруппа группы , то символом обозначается мощность множества .Пример 5. Пусть
- простое число и пусть для любой группы система в нет такой подгруппы , что , - натуральное число, взаимнопростое с .Покажем, что
- подгрупповой функтор.Действительно, пусть
и . Предположим, чтогде
- натуральное число. Тогда - натуральное число иСледовательно,
, и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если