Смекни!
smekni.com

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 6 из 14)

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

Пусть

некоторый класс групп. Составим с каждой группой
некоторую систему ее подгрупп
. Будем говорить, что
- подгрупповой
-функтор
или подгрупповой функтор на
, если выполняются следующие условия: 1)
для всех
;

2) для любого эпиморфизма

, где А,
и для любых групп
и
имеет место
и

Подгрупповой

-функтор
называется:

1) замкнутым, если для любых двух групп

и
имеет место
;

2) тривиальным, если для любой группы

имеет место

;

3) единичным, если для любой группы

система
состоит из всех подгрупп группы G.

Тривиальный подгрупповой

-функтор обозначается символом
, а единичный - символом
.

Если

и
- подгрупповой
-функтор, то
- такой подгрупповой
-функтор, что
для всех
. Такой функтор называется ограничением функтора
на классе
.

Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда

- класс всех групп, подгрупповые
-функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.

Пример 1. Пусть для любой группы

,

Понятно, что

- замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись
.

Пример 2. Пусть

- совокупность всех нормальных подгрупп группы
для каждой группы
. Такой функтор в общем случае замкнутым не является.

Пример 3. Пусть

- произвольное натуральное число. Для каждой группы
через
обозначим совокупность всех таких подгрупп
, для которых
. Понятно, что
- подгрупповой
-функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись
.

Пример 4. Пусть

- произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы
.

Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись

.

Если

- подгруппа группы
, то символом
обозначается мощность множества
.

Пример 5. Пусть

- простое число и пусть для любой группы
система
в
нет такой подгруппы
, что
,
- натуральное число, взаимнопростое с
.

Покажем, что

- подгрупповой функтор.

Действительно, пусть

и
. Предположим, что

где

- натуральное число. Тогда
- натуральное число и

Следовательно,

, и поэтому
. Это означает, что
. Аналогично, мы видим, что если