то
. Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если - некоторый класс конечных групп и , то - замкнутый подгрупповой функтор.Пример 6. Пусть
. И пусть для каждой группы множество совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .Напомним, что подгруппа
группы называется абнормальной в , если всегда из следует, что .Пример 7. Пусть для любой группы
множество совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .Пример 8. Пусть
- произвольный класс групп. Подгруппа группы называется - абнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:1)
;2)
и для любых двух подгрупп и из , где и - максимальная подгруппа в имеет место .Легко видеть, если группа
разрешима, то ее подгруппа абнормальна в тогда и только тогда, когда она -абнормальна в .Сопоставляя каждой группе
множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись .Пример 9. Подгруппа
группы называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:1)
;2)
и в имеется такая цепь подгрупп где - максимальная в подгруппа, содержащая , .Пусть
- некоторая непустая формация и для каждой группы система состоит из всех -субнормальных в подгрупп.Покажем, что
- подгрупповой функтор. Пусть -субнормальна в . И пусть и - такие члены цепи (1), что , где - нормальная в подгруппа.Покажем, что
- максимальная подгруппа в . Допустим, что для некоторой подгруппы . Тогда поскольку максимальна в , то либо , либо .Пусть имеет место первое. Тогда поскольку
, то . Противоречие. Значит, , т.е. . Поэтому . Противоречие. Итак, ряд таков, что в нём для любого имеет место одно из двух условий:1)
;2)
- максимальная подгруппа в . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку тоИтак,
- -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если - -субнормальная подгруппа в , то - -субнормальная подгруппа в . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .