Смекни!
smekni.com

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 7 из 14)

то

. Таким образом,
- подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись
. Заметим, что если
- некоторый класс конечных групп и
, то
- замкнутый подгрупповой функтор.

Пример 6. Пусть

. И пусть для каждой группы
множество
совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из
, индексы которых не делятся на числа из
. Понятно, что
- замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись
.

Напомним, что подгруппа

группы
называется абнормальной в
, если всегда из
следует, что
.

Пример 7. Пусть для любой группы

множество
совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы
. Легко видеть, что
- незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись
.

Пример 8. Пусть

- произвольный класс групп. Подгруппа
группы
называется
- абнормальной в
, если выполняется одно из следующих двух условий:

1)

;

2)

и для любых двух подгрупп
и
из
, где
и
- максимальная подгруппа в
имеет место
.

Легко видеть, если группа

разрешима, то ее подгруппа
абнормальна в
тогда и только тогда, когда она
-абнормальна в
.

Сопоставляя каждой группе

множество всех ее
-абнормальных подгрупп
, получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись
.

Пример 9. Подгруппа

группы
называется
-субнормальной в
, если выполняется одно из следующих двух условий:

1)

;

2)

и в
имеется такая цепь подгрупп
где
- максимальная в
подгруппа, содержащая
,
.

Пусть

- некоторая непустая формация и для каждой группы
система
состоит из всех
-субнормальных в
подгрупп.

Покажем, что

- подгрупповой функтор. Пусть
-субнормальна в
. И пусть
и
- такие члены цепи (1), что
, где
- нормальная в
подгруппа.

Покажем, что

- максимальная подгруппа в
. Допустим, что
для некоторой подгруппы
. Тогда поскольку
максимальна в
, то либо
, либо
.

Пусть имеет место первое. Тогда поскольку

, то
. Противоречие. Значит,
, т.е.
. Поэтому
. Противоречие. Итак, ряд
таков, что в нём для любого
имеет место одно из двух условий:

1)

;

2)

- максимальная подгруппа в
. He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку
то

Итак,

-
-субнормальная подгруппа в
. Понятно также, что если
-
-субнормальная подгруппа в
, то
-
-субнормальная подгруппа в
. Таким образом,
- подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись
.