Смекни!
smekni.com

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 8 из 14)

Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп

называется формацией, если каждая конечная группа
обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом
) со свойством
.

Лемма 3.1 Пусть

- формация,
. Тогда

Доказательство. Пусть

. Тогда

Отсюда следует, что

. С другой стороны, поскольку
- гомоморф, то

Откуда получаем

. Из
и
следует равенство
.

Лемма доказана.

Пример 10. Пусть

- некоторый класс конечных групп и
- формация. Пусть для любой группы

Покажем, что

- подгрупповой
- функтор.

Действительно, пусть

и
. Тогда
, и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем

Следовательно,

. Аналогично, если
, то
. Следовательно,
- подгрупповой
-функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись
.

Пример 11. Для каждой группы

через
обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из
. Понятно, что
- подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись
.

4. Решетки подгрупповых функторов

Аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.

Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.

Пусть

- некоторый класс групп. Будем говорить, что
- ограниченный класс, если найдется такое кардинальное число
, что для всех
имеет место
. Везде в дальнейшем мы предполагаем, что
- некоторый ограниченный класс групп.

Обозначим через,

множество всех подгрупповых
-функторов, а через
- множество всех замкнутых подгрупповых
-функторов. На множестве
введем частичный порядок
, полагая, что
имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы
справедливо
.

Для произвольной совокупности подгрупповых

-функторов
определим их пересечение
для любой группы
. Понятно, что
- нижняя грань для
в
. Мы видим, что
- полная решетка с нулем
и единицей
. Понятно, что функтор
, где
для всех
, является верхней гранью для
в
.

Заметим, что если

- произвольный набор замкнутых подгрупповых
-функторов, то, очевидно,
- замкнутый подгрупповой
-функтор. А поскольку замкнутым является и функтор
, мы видим, что
также является полной решеткой.

Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны со свойствами групп, входящих в

. Отметим, например, что если
содержится в классе конечных групп, то решетка
является цепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа
класс
состоит из элементарно-абелевых
-групп. С другой стороны, решетка
является цепью тогда и только тогда, когда все группы из
являются
-группами. Покажем, что в общем случае
не является подрешеткой в
. Для этого достаточно установить, что если
- класс всех конечных групп и
,
, где
и
- различные простые числа, то функтор
не является замкнутым. Пусть
, где
- группа порядка
, a
- группа порядка
. Понятно, что
и
. Таким образом, если бы функтор
был бы замкнутым, то мы бы имели
Но, как нетрудно заметить, во множество
входят лишь такие подгруппы
из
для которых имеет место одно из двух:
или
. Это означает, что
. Следовательно, функтор
не является замкнутым.