Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 9 из 14)

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Сопоставляя классу конечных групп

решетки и можно изучать свойства групп из в зависимости от свойств решеток и .

Лемма 20.6. Пусть

- подгрупповой функтор и

- группа. Если

и

, тогда

.

Доказательство. Если

- канонический эпиморфизм на , то

Так как

мы видим по определению подгрупповых функторов, что .

Лемма доказана.

Пусть

- элемент группы . Тогда если для некоторого натурального числа имеет место , то наименьшее натуральное число с таким свойством называется порядком элемента

. Говорят, что - группа экспоненты , если каждый ее неединичный элемент имеет порядок .

Пусть

- простое число. Тогда группа называется элементарно абелевой -группой, если - абелева группа экспоненты .

Лемма 20.7. Пусть

,

- элементарно абелевы

-группы с

. Тогда

имеет подгруппу

такую, что

.

Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда

- бесконечная группа.

Пусть

и , где для всех и . Пусть - подмножество в такое, что . И пусть , где и . Тогда ясно, что

Следовательно,

.

Лемма доказана.

Напомним, что класс групп называется наследственным, если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечным многообразием, если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямое произведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп.

Пусть

- простое число, делящее порядок группы . Подгруппа группы называется силовской

-подгруппой в

, если и - степень числа . Известная в теории групп теорема Силова утверждает, что для любого простого числа в любой конечной группе с имеется силовская -подгруппа. Конечная группа называется

-группой, если ее порядок является степенью числа .