Смекни!
smekni.com

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 1 из 14)

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Курсовая работа

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

Исполнитель:

Студентка группы М-42

Ларченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

Гомель 2006

Содержание

Введение

Перечень условных обозначений

1. Общие определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

4. Решетки подгрупповых функторов

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Заключение

Список использованных источников

Введение

Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу

и подгруппами из факторуппы
существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.

Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).

Пусть

некоторый класс групп. Составим с каждой группой
некоторую систему ее подгрупп
. Будем говорить, что
- подгрупповой
-функтор
или подгрупповой функтор на
, если выполняются следующие условия:

1)

для всех
;

2) для любого эпиморфизма

, где А,
и для любых групп
и
имеет место
и

Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.

Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.

Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.

В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.

Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.

Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.

В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".

Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.

Перечень условных обозначений

- принадлежность элемента множеству;

- знак включения множеств;

- знак строгого включения;

и
- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

- пустое множество;

- множество всех простых чисел;

- некоторое множество простых чисел, т.е.
;

Пусть

- группа. Тогда:

- порядок группы
;

- порядок элемента
группы
;

- коммутант группы
, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы
;

-
является подгруппой группы
;

-
является собственной подгруппой группы
;

-
является максимальной подгруппой группы
;

-
является нормальной подгруппой группы
;

-
является субнормальной подгруппой группы
;

-
является минимальной нормальной подгруппой группы
;

- факторгруппа группы
по подгруппе
;

- индекс подгруппы
в группе
;

- нормализатор подгруппы
в группе
;

Если

и
- подгруппы группы
, то:

-
и
изоморфны.

Пусть

- группа,
и
, тогда:

- правый смежный класс,

- левый смежный класс;