Рисунок 5 - График функции t(т) иy(x)=
Из графика на рис. 5 и из предыдущего пункта при больших m получаем гипотезу t(т)
В таблице 2 (см Приложение Г) приведено сравнение значений функций t(m), f(m)=
Средняя ошибка приближения функции t(m) к функции f(m)=
Исследование функции t(k, т) = p(k, т)/(т – k +1) – частоты встречаемости антипростых чисел на отрезке [k, т], не позволило выявить закономерностей. Ясно лишь, что она при любом m принимает значения от 0 до 1. Всего различных значений не более m+1, а при m > 3 не более m и среди них будет 1. Есть гипотеза (строго это не доказано), что t(k, т) не периодическая функция. Это также будет следовать из доказанной ниже теоремы 5.
2 Обобщения об антипростых числах
Цель данной работы не только решить поставленные на турнире задачи, но и предложить свои вопросы для исследования задачи об антипростых числах и исследовать их.
Докажем ряд теорем, которые могут представлять интерес при исследовании антипростых чисел.
Теорема 1. Любое нечетное число можно представить как разность двух антипростых чисел.
Доказательство:
Заметим, что 1 = 9 – 8 и 3 = 128 – 125. Пусть теперь 2p+ 1 – произвольное нечетное число и p > 1. Тогда числа p2 и (p+ 1)2 – антипростые. Их разность, как легко заметить, равна 2p+ 1.
Теорема 2. Любое натуральное число, делящееся на 4, можно представить как разность двух антипростых чисел.
Доказательство: Заметим, что 4 = 8 – 4 и 8 = 16 – 8. Пусть теперь 4p – произвольное число, делящееся на 4 и p > 2. Тогда числа (p– 1)2 и (p+ 1)2 – антипростые. Их разность, как легко заметить, равна 4p.
Теорема 3 . Существует отрезок любой длины в натуральном ряду, на котором нет антипростых чисел.
Доказательство: Рассмотрим систему сравнений:
(
Если данная система имеет решения, то тогда получим последовательность чисел длины
Значит существует отрезок любой длины в натуральном ряду, на котором нет антипростых чисел.
Примечание. Китайская теорема об остатках[6].
Если
Также нам понадобиться следующий известный факт:
Лемма. Пусть НОД(b;d) = 1. Тогда найдется бесконечно много членов арифметической (геометрической) прогрессии с начальным членом 1 и разностью (знаменателем) b сравнимых с 1 по модулю d.
Теорема 4. В любой арифметической прогрессии (a0,dÎN, a0 > 0), у которой НОД(a0;d) – антипростое или 1, бесконечно много антипростых чисел.
Доказательство:
Пусть НОД(a0;d) = 1. Рассмотрим арифметическую прогрессию с членами вида a0 + a0kd. Каждый ее член является членом исходной арифметической прогрессии. При
В случае, когда НОД(a0;d) – антипростое, рассуждения аналогичны.
Теорема 5. Не существует арифметической прогрессии (
Доказательство:
Если все члены арифметической прогрессии (разность
Пусть существует арифметическая прогрессия, состоящая только из антипростых чисел (
Рассмотрим
Если
Но сравнение
Значит не существует арифметической прогрессии, состоящей только из антипростых чисел.
Следствие. В любой арифметической прогрессии(
Одно из примечательных в теории чисел понятий – совершенное число. Это натуральное число, равное сумме своих натуральных делителей, исключая само число.На октябрь 2008 г. известно только 46 чётных совершенных чисел, нечетных совершенных чисел найдено не было. Встает вопрос, а могут ли антипростые числа быть совершенными? В этой связи интересны следующие две теоремы.
Теорема 6. Число вида
Действительно, если
Следовательно
Теорема 7. Число вида
Доказательство:
Пусть
1.