Антипростые числа (стр. 4 из 4)

– нечётно. Представим

в виде произведения простых множителей:

. Количество натуральных делителей числа

равно

, сумма их нечётна, но она же равна

– противоречие.

Сложным оказался вопрос о существовании трёх подряд идущих антипростых числах, пытаясь его ослабить, мы попытались рассмотреть совместное расположение последовательно расположенных простых и антипростых чисел. При этом нами был поставлен ряд вопросов, на которые удалось получить ответы.

Вопрос 1. Существуют ли три подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является либо простым, либо антипростым?

Ответ. Рассмотрим тройки вида (p₁; p₂; a) (a; p₁; p₂): Одно из чисел p₁ или p₂чётное, то есть 2, так как 1 не антипростое и не простое, то троек (a; p₁; p₂) нет. А тройка (p₁; p₂; a) всего одна (2;3;4).

Рассмотрим тройки вида (

– нечётные (иначе одно не анипростое по задачи 1 пункта 1.1), тогда

– чётно, то есть 2, но 1 не антипростое, то есть данной тройки не существует.

Очевидно, что тройки (p₁; p₂; p₃ ) не существует.

Тройки (p; a₁; a₂), (p₁; a; p₂), (

) существуют: (7; 8; 9), (3; 4; 5), (675;676;677) но доказать их конечность или бесконечность не удалось.

Примечание. В приведенных обозначениях p – простое число, a – антипростое число.

Вопрос 2. Существуют ли четыре подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является либо простым, либо антипростым?

Ответ. Среди четырёх подряд идущих натуральных чисел два чётных, но из задачи 1 пункта 1.1, следует что они одновременно не могут быть антипростыми, также как и простыми. Значит, если существует четвёрка, то одно из них простое. Так как 1 не антипростое, то имеем только одну четвёрку: (2;3;4;5).

Вопрос 3. Существуют ли пять или более подряд идущих натуральных чисел, каждое из которых является либо простым, либо антипростым?

Ответ. Как показано выше, существует только одна четверка подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является либо простым, либо антипростым. Если бы существовало пять или более подряд идущих натуральных чисел, удовлетворяющих условию, то они содержали бы эти четыре числа. Но 6 и 1 не простое и не антипростое. Значит, таких чисел нет.

Заключение

В процессе выполнения данной работы были решены задачи, предлагаемые на XI турнире юных математиков, и получены следующие результаты.

Для исследования антипростых чисел была разработана программа на Паскале, которая вычисляет антипростые числа. В Приложении А представлена таблица антипростых чисел на отрезке до

. В принципе программа позволяет повысить значение n до большей величины, а также дает ответ, что среди чисел на отрезке до

3136000000 троек антипростых чисел вида n - 1, n, n + 1 не найдено.

При исследовании количества антипростых чисел были проведены сравнения значений функции p(n) с функцией

, которые показали, на отрезке до n=420000

p(n), а далее

p(n), причём процент ошибки небольшой. Так как вначале

p(n), то процент ошибки убывает, после n=420000 он начинает возрастать, и при n=2000000 он приблизительно равен 2%.

При исследовании частоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел были проведены сравнения значений функции t(m) с функцией f(m)=

и t(m) с полученной функцией y(x)=

(

) до m= 1500000. Вычислена средняя ошибка приближения. Средняя ошибка приближения функции t(m) к функции f(m)=

составила 1,185812%, а к функции y(x)=

- 0,280031%.

В обобщениях об антипростых числах были сформулированы и доказаны семь теорем, а также три вопроса.

В заключении следует отметить, что тематика данной исследовательской работы является достаточно новой и поэтому и достаточно интересной.

В дальнейшем планирую продолжать исследовать антипростые числа.

Список использованных источников и литературы

1. Сендеров В., Френкин Б. Гипотеза Каталана. - журнал "Квант", 2007, №4. – С. 8-10.

2. Сендеров В. Решение задачи М2032. – журнал Квант", 2007, №4. – С. 19-21.

3. Оре О. Приглашение в теорию чисел – Серия "Библиотечка "Квант"", М. 1980. – 128 с.

4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 168 с.

5. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. – М.: Академия, 2008. -273 с.

6. Манин Ю.И., Панчишкин А.А. Теория чисел I. Введение в теорию чисел. – М.: ВИНИТИ, 1989.- 402 с.

Приложение A - +Таблица антипростых чисел

Приложение Б – Программа нахождения антипростых чисел

program Project2;

var

k:real;

b,t,i,j,m,n:longint;

a:array[1..2000000] of longint;

begin

assign(output,'output.txt');

rewrite(output);

m:=3;

a[1]:=2;

a[2]:=3;

for i:=4 to 2000000 do begin

t:=1;

k:=sqrt(i);

b:=trunc(k);

for j:=2 to b do

if(i mod j)=0 then

t:=t+1;

if t=1 then begin

a[m]:=i;

m:=m+1;

end;

n:=1;

for i:=1 to 2000000 do begin

t:=1;

for j:=1 to m-1 do

if(i mod a[j])=0 then begin

b:=i div a[j];

if (b mod a[j])=0 then

t:=t+1

else

begin

t:=1;

break;

end;

if t>1 then

begin

writeln(i);

end;

readln;

close(output);

end.

Приложение В – Таблица сравнения значений функций p(n) и

Таблица 1 – Сравнение значений функций p(n) и

Приложение Г – Таблица сравнения значений функций t(m), f(m)=

и y(x)=

Таблица 2 – Сравнение значений функций t(m), f(m)=

и y(x)=

Отрезок[1; m]	Количество антипростых чисел p(n)	Значение функцииt(m)	Значение функцииf(m)=	Значение функцииy(x)=
[1; 20000]	266	0,0133	0,014142	0,0134	6,331847	0,75188
[1; 40000]	382	0,00955	0,01	0,009582228	4,712042	0,337463
[1; 60000]	473	0,007883	0,008165	0,007875417	3,572505	0,100424
[1; 80000]	551	0,006888	0,007071	0,006852171	2,665231	0,512948
[1; 100000]	618	0,00618	0,006325	0,006150963	2,339083	0,469855
[1; 120000]	677	0,005642	0,005774	0,005631644	2,336828	0,177647
[1; 140000]	734	0,005243	0,005345	0,005226926	1,952517	0,30386
[1; 160000]	785	0,004906	0,005	0,00489993	1,910828	0,128818
[1; 180000]	837	0,00465	0,004714	0,004628521	1,377316	0,461906
[1; 200000]	885	0,004425	0,004472	0,004398502	1,065219	0,598824
[1; 220000]	927	0,004214	0,004264	0,004200287	1,195594	0,316802
[1; 240000]	971	0,004046	0,004082	0,004027142	0,90586	0,461997
[1; 260000]	1010	0,003885	0,003922	0,003874173	0,970683	0,268815
[1; 280000]	1053	0,003761	0,00378	0,003737731	0,503374	0,611139
[1; 300000]	1089	0,00363	0,003651	0,00361503	0,591838	0,41241
[1; 320000]	1126	0,003519	0,003536	0,003503899	0,476985	0,42206
[1; 340000]	1165	0,003426	0,00343	0,003402621	0,102178	0,696032
[1; 360000]	1198	0,003328	0,003333	0,003309817	0,166945	0,539728
[1; 380000]	1228	0,003232	0,003244	0,003224362	0,397622	0,223323
[1; 400000]	1266	0,003165	0,003162	0,003145332	0,086014	0,621423
[1; 420000]	1296	0,003086	0,003086	0,003071957	0,011431	0,445845
[1; 440000]	1329	0,00302	0,003015	0,00300359	0,176831	0,558332
[1; 460000]	1359	0,002954	0,002949	0,002939686	0,186461	0,496296
[1; 480000]	1387	0,00289	0,002887	0,002879775	0,098007	0,339428
[1; 500000]	1422	0,002844	0,002828	0,002823459	0,547569	0,722272
[1; 520000]	1444	0,002777	0,002774	0,002770389	0,123233	0,235313
[1; 540000]	1474	0,00273	0,002722	0,002720264	0,292141	0,34312
[1; 560000]	1500	0,002679	0,002673	0,00267282	0,22247	0,214713
[1; 580000]	1529	0,002636	0,002626	0,002627826	0,382301	0,317905
[1; 600000]	1556	0,002593	0,002582	0,002585077	0,437446	0,318356
[1; 620000]	1582	0,002552	0,00254	0,002544392	0,455021	0,282996
[1; 640000]	1610	0,002516	0,0025	0,002505609	0,621118	0,398166
[1; 660000]	1634	0,002476	0,002462	0,002468583	0,562565	0,289788
[1; 680000]	1660	0,002441	0,002425	0,002433186	0,648057	0,327323
[1; 700000]	1684	0,002406	0,00239	0,002399301	0,634201	0,266598
[1; 720000]	1711	0,002376	0,002357	0,002366822	0,814946	0,402569
[1; 740000]	1733	0,002342	0,002325	0,002335656	0,723309	0,266293
[1; 760000]	1758	0,002313	0,002294	0,002305714	0,821412	0,321793
[1; 780000]	1780	0,002282	0,002265	0,00227692	0,766732	0,224861
[1; 800000]	1805	0,002256	0,002236	0,002249201	0,894494	0,312442
[1; 820000]	1825	0,002226	0,002209	0,002222491	0,762903	0,14014
[1; 840000]	1850	0,002202	0,002182	0,002196731	0,917282	0,256558
[1; 860000]	1871	0,002176	0,002157	0,002171865	0,869925	0,170839
[1; 880000]	1896	0,002155	0,002132	0,002147842	1,046081	0,311116
[1; 900000]	1919	0,002132	0,002108	0,002124617	1,127327	0,356696
[1; 920000]	1941	0,00211	0,002085	0,002102144	1,16782	0,362034
[1; 940000]	1959	0,002084	0,002063	0,002080386	1,017257	0,17547
[1; 960000]	1979	0,002061	0,002041	0,002059303	0,980708	0,104546
[1; 980000]	2004	0,002045	0,00202	0,002038862	1,202645	0,295148
[1; 1000000]	2026	0,002026	0,002	0,002019032	1,283317	0,34395
[1; 1020000]	2043	0,002003	0,00198	0,001999781	1,130642	0,157798
[1; 1040000]	2063	0,001984	0,001961	0,001981082	1,133892	0,129668
[1; 1060000]	2082	0,001964	0,001943	0,001962909	1,098654	0,063238
[1; 1080000]	2103	0,001947	0,001925	0,001945238	1,166858	0,101911
[1; 1100000]	2123	0,00193	0,001907	0,001928046	1,195587	0,101258
[1; 1120000]	2145	0,001915	0,00189	0,001911311	1,32396	0,201927
[1; 1140000]	2162	0,001896	0,001873	0,001895015	1,229618	0,077865
[1; 1160000]	2184	0,001883	0,001857	0,001879137	1,370608	0,192382
[1; 1180000]	2202	0,001866	0,001841	0,00186366	1,337144	0,130865
[1; 1200000]	2221	0,001851	0,001826	0,001848567	1,355685	0,122443
[1; 1220000]	2241	0,001837	0,001811	0,001833843	1,424712	0,165603
[1; 1240000]	2259	0,001822	0,001796	0,001819473	1,411875	0,126297
[1; 1260000]	2276	0,001806	0,001782	0,001805443	1,362283	0,050154
[1; 1280000]	2296	0,001794	0,001768	0,00179174	1,448532	0,11207
[1; 1300000]	2315	0,001781	0,001754	0,00177835	1,496724	0,135835
[1; 1320000]	2332	0,001767	0,001741	0,001765263	1,465478	0,079447
[1; 1340000]	2351	0,001754	0,001728	0,001752467	1,524144	0,114608
[1; 1360000]	2369	0,001742	0,001715	0,001739951	1,545768	0,112571
[1; 1380000]	2390	0,001732	0,001703	0,001727705	1,695899	0,241297
[1; 1400000]	2404	0,001717	0,00169	0,00171572	1,562732	0,082873
[1; 1420000]	2422	0,001706	0,001678	0,001703986	1,598883	0,096612
[1; 1440000]	2437	0,001692	0,001667	0,001692495	1,51826	0,007898
[1; 1460000]	2459	0,001684	0,001655	0,001681238	1,723904	0,17863
[1; 1480000]	2473	0,001671	0,001644	0,001670208	1,613222	0,044179
[1; 1500000]	2493	0,001662	0,001633	0,001659396	1,745297	0,156651
Средняяошибка					1,185812
Средняяошибка						0,280031