Антипростые числа (стр. 1 из 4)
Отдел образования гомельского городского исполнительного комитета
Государственное учреждение образования
"Гимназия №71 г. Гомеля"
Конкурсная работа
"Антипростые числа"
Исполнитель:
Мурашко Вячеслав Игоревич,
ученик 9 А класса
Руководитель:
Синюто Алла Николаевна,
учитель физики
Государственного учреждения образования
"Гимназия №71 г. Гомеля"
Гомель
2009
Оглавление
Введение
1. Исследование антипростых чисел и их свойств
1.1 Задачи об антипростых числах
1.2 Исследование количества антипростых чисел среди натуральных чисел
1.3 Исследование частоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел
2. Обобщения об антипростых числах
Заключение
Список использованных источников и литературы
Приложения
Введение
На XI Республиканском турнире юных математиков, проходившем в декабре 2009 года в Минске, одной из исследовательских тем была задача об антипростых числах.
Цель данной работы – изучить антипростые числа и их свойства. При выполнении работы были решены поставленные на турнире задачи об антипростых числах, а также предложены и исследованы свои вопросы по данной теме. Объект исследования – антипростые числа. Назовем натуральное число антипростым, если каждый его простой делитель входит в его разложение на множители с показателем, большим 1. Назовем натуральное число антипростым порядка р (р ÎN), если каждый его простой делитель входит в его разложение на множители с показателем не меньшим, чем р. Назовем два натуральных числа взаимно антипростыми, если их наибольший общий делитель является антипростым числом. Антипростые числа являются естественным обобщением фигурирующих в проблеме бельгийского математика Э. Каталана правильных степеней (1844 г.), которую пытались решать такие выдающиеся математики как Лео Гебракус, Френикль де Бесси, Л. Эйлер, В. А. Лебег, Т. Нагель и др. В 2003 году румынский математик П. Михайлеску доказал справедливость гипотезы Каталана. Тематика данной исследовательской работы является достаточно новой. При проведении анализа источников информации непосредственно ссылок на задачу об антипростых числах в такой постановке было найдено две – это статья В. Сендерова, Б. Френкина "Гипотеза Каталана" в журнале "Квант" № 4 2007 года и задача М2032 об антипростых числах – близнецах В. Сендерова из того же журнала. В процессе выполнения данной работы потребовались более углубленные знания по теории чисел, которые были получены из таких источников информации, как Оре О. "Приглашение в теорию чисел", Виноградов И.М. "Основы теории чисел" и др.
1. Исследование антипростых чисел и их свойств
1.1 Задачи об антипростых числах
При изучении антипростых чисел и их свойств были решены ряд следующих задач, поставленных на XI турнире юных математиков.
1. Покажите, что в натуральном ряду не могут идти подряд четыре антипростых числа.
Решение. Среди подряд идущих четырех натуральных чисел два – чётные. Их разность равна 2, т.е. при делении на 4 одно из них даёт в остатке 2, другое 0. Следовательно, одно из этих чисел делится на
но не делится на 
, т.е. не антипростое. Заметим также, что эти два четных числа не могут быть взаимноантипростыми и антипростыми порядка p.2. Могут ли три антипростых числа быть длинами сторон прямоугольного треугольника?
Решение. Три антипростых числа могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
Приведем в качестве примера треугольник со следующими длинами сторон:
, 
, 
. Доказательством того, что этот треугольник является прямоугольным, является выполнимость теоремы Пифагора: 
.Заметим также, что эти числа взаимноантипросты и антипростые порядка p.
3. Могут ли три (четыре, пять, …) антипростых числа быть членами арифметической прогрессии?
Решение. Любое количество антипростых чисел может быть членами арифметической прогрессии.
Примером являются следующие n подряд идущие члены арифметической прогрессии:
, 2 , 3 , …, 
с разностью , где p > 1.Эти числа также взаимноантипросты и антипростые порядка
.4. Могут ли пять антипростых чисел составлять множество чисел вида a, a± b, a± (b + c) и т.д.?
Решение. Ответ на этот вопрос зависит от величины чисел b и c. Например, если они равны по 1, то из первой задачи следует, что таких пяти антипростых чисел нет (нет 4 подряд идущих). Но найти такие a, b и c, что a, a± b, a± (b + c) антипростые можно. Например, 2
, 4 , 5 , 6 , 8 , где n > 8, p> 1. Заметим, что эти числа взаимноантипросты и антипростые порядка 
.Легко получить сколько угодно слагаемых такого вида, выбирая различные a, b и c, а затем домножая на
с соответствующим n.5. Покажите, что во множестве натуральных чисел существуют тройки подряд идущих чисел, среди которых два являются антипростыми.
Решение. Во множестве натуральных чисел существуют тройки подряд идущих чисел, среди которых два являются антипростыми. Например, (7, 8, 9), (8, 9, 10), (25, 26, 27). В первой тройке второе число и третье число, во второй тройке первое число и второе число, а в третьей тройке первое число и третье число являются антипростыми числами.
6. Покажите, что таких троек бесконечно много.
Решение. Покажем, что таких троек бесконечно много.
Рассмотрев первую тройку (p–1, p, p+1), из которой p и p+1 антипростые числа, получаем тройку (q–1, q, q+1), где числа q= 4×p×(p+1) = (2p+1)2 – 1 и q+1 =
, очевидно, антипростые как произведение антипростых чисел и квадрат, который всегда антипростое число. Из тройки (7, 8, 9) получим тройку (287, 288, 289), из нее (332 927, 332 928, 332 929) и так далее. В результате получим бесконечное число таких троек.Аналогичный алгоритм применяется и для троек вида (p, p+1, p+2), в которой p и p+1 антипростые числа.
В журнале КВАНТ №4 за 2007 год [2] приведен простой алгоритм, как из третьего вида тройки получить бесконечную серию таких троек. Он опирается на равенство (2n3+3n)2+2=(2n2+1)2(n2+2), которое легко проверяется раскрытием скобок. Действительно, раскрыв скобки слева и справа, получим 4n6+12n4+9n2+2. Но тогда с тройкой (n2, n2+1, n2+2), в которой n2 и n2+2 являются антипростыми, получаем тройку (k2, k2+1, k2+2), где k= 2n3+3n. Согласно доказанному выше равенству k2 и k2+2 являются антипростыми числами. Так из (25, 26, 27) получаем (70 225, 70 226, 70 227) = (2652, 2652+1, 172´35). Взяв n = 265, получим следующую тройку и так далее.
7. Могут ли все три числа n - 1, n, n + 1 быть антипростыми?
Решение. Доказать, что нет трех подряд идущих антипростых чисел или найти такую тройку не удалось. Однако заметим, что в журнале КВАНТ №4 за 2007 год [1] также отмечается, что ответ на этот вопрос авторам неизвестен. Во всяком случае, среди чисел до 2 000 000 таких троек нет. Мною повышена эта оценка до 3 136 000 000 чисел.
Верно следующее утверждение.
Если существует тройка анипростых чисел n - 1, n, n + 1, то существует антипростое число вида
.Доказательство:
Докажем, что если существует тройка антипростых чисел вида n - 1, n, n + 1, то число n чётное. Действительно, если числа n - 1, n +1 – чётные, то их разность равна 2, т.е. при делении на 4 одно из них даёт в остатке 2, другое 0. Следовательно, одно из этих чисел делится на
, но не делится на , т.е. не антипростое -противоречие.Так как
антипростое и чётное, то оно делится на 4, то есть имеет вид 
. Тогда 
. Антипростое число, умноженное на антипростое число – анипростое число. То есть число тоже антипростое.Верно и обратное утверждение.