Теория случайных чисел (стр. 2 из 11)

1. Предельная теорема Пуассона. При р»0, n-велико, np= l£ 10.

Формула дает распределение Пуасона, описывает редкие события.

2. Предельная теорема Муавра-Лапласа.

0 £ p £ 1, n –велико, np>10

- стандартное нормальное распределение

3. Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа.

В условиях предыдущей теоремы вероятность того, что событие А в серии из n испытаний наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз:

- функция Лапласа

Следствие:

Пример. ОТК проверяет на стандартность 1000 деталей. Выбранная деталь с вероятностью р=0,975 является стандартной.

1) Найти наивероятнейшее число стандартных деталей:

K₀=np=975

2) Найти вероятность того, что число стандартных деталей среди проверенных отличается от k₀ не более чем на 10.

3) С вероятностью 0,95 найти максимальное отклонение числа стандартных деталей среди проверенных.

4) Найти число проверяемых деталей n, среди которых с вероятностью 0,9999 стандартные детали составят не менее 95%.

0,95n£k£n

P(0,95n£k£n)=0.9999 = Ф(х₂)- Ф(х₁) =

n=3.9²*39=594

при р=0,9999 n=594

при р=0,999 n=428

при р=0,99 n=260

Раздел 3. Случайные величины и распределение вероятностей.

Случайная – величина, которая в ходе опыта принимает то или иное значение из возможных своих значений, меняющееся от опыта к опыту и зависящее от множества непредсказуемых факторов.

Если случайные события характеризуют процесс качественно, то случайная величина – количественно.

Случайная величина – численная функция, задаваемая на множестве элементарных событий. На одном множестве может быть несколько случайных величин.

Дискретная случайная величина (ДСК) – величина, принимающая счетное (конечное или бесконечное) множество значений.

Непрерывная случайная величина (НСВ) – случайная величина, значения которой образуют несчетные множества. (Например, расход бензина на 100 км у автомобиля Жигули в Нижнем Новгороде).

Задать св – значит указать все множество ее значений и соответствующие этим значениям вероятности. Говорят, что задан закон распределения случайной величины.

Случайная величина может быть задана несколькими способами:

1. Табличный.

Х	a1	a2	…	аn
Р	p1	p2	…	pn

Значения случайных величин в таблице ранжируются, т.е. указываются в порядке возрастания.

Недостпаток табличного способа в том, что он пригоден только для случайных величин, принимающих небольшое количество значений.

2. Функция распределения F(x) = P(X<x) или интегральный закон распределения.

Указывается вероятность того, что случайная величина принимает значение < x.

Х	a1	a2	a3	…	аn-1
Р	p1	p2	p3	…	pn-1
F(x)	p1	p1+p2	p1+p2+p3	…	p1+p2+…+pn-1

При увеличении значения случайной величины, количество ступенек функции F(х) возрастает, уменьшается их высота и в пределе при

получаем гладкую непрерывную функцию F(х).

Свойства функции F(х).

1. Неотрицательна. 0£ F(х)£1

2. Неубывающая F(х₂)> F(х₁) при х₂>х₁

3.

4. Р(a<x<b) = F(a) – F(b) Вероятность того, что значение х попадет в интервал (а,b) определяется разностью значений функции на концах интервала.

Наряду с F(х) вводится f(x) - функция плотности вероятности или дифференциальный закон распределения:

Свойства функции f(x):

1. Неотрицательна. (т.к. F(x) неубывающая, f(x)³0)

2.

Площадь фигуры под кривой на интервале (a,b) равна:

- условие нормировки функции f(x).

Основные дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретные случайные величины (ДСВ).

1. Биноминальная случайная величина x{0,1,2,3…n}

, p+q=1, 0<p<1

2. Пуассоновская случайная величина x{0,1,2,3…}

3. Бернуллиевая случайная величина

4. Равномерное распределение

Непрерывные случайные величины (НСВ).

1. Равномерное распределение

2. Треугольное распределение Симпсона

3. Экспоненциальное (показательное) распределение. Имеет важное значение в теории массового обслуживания и теории надежности.

l - интенсивность.

3. Нормальный закон распределения.

, s>0

s=1, m=0 – нормальное стандартное распределение (m-мат. ожидание)

- такой подстановкой любое нормальное распределение приводится к стандартному.

При фиксированном s и изменяющемся m, кривая двигается вдоль Ох, не изменяя формы.

При фиксированном m и изменяющемся s (s₁<s₂<s₃), кривая вытягивается вдоль оси ординат, но площадь фигуры под каждой кривой = 1.

Функция Лапласа:

Операции со случайными величинами

Со случайными величинами, рассмотренными на одном и том же интервале исходов опыта, можно обращаться как с обычными числами и функциями.

X:

X	a1	a2	…	an
p	p1	p2	…	pn

Y=j(x)

Нужно найти закон распределения СВ Y. y_k=j(a_k), где k=1,2,…,n.

P(y=y_k)=P(x=a_k)=P_k

Если все значения СВ Y различны, то их надо проранжировать и указать соответствующие вероятности.

Если СВ Y принимает совпадающие значения, то их надо объединить под общей вероятностью, равной сумме соответствующих вероятностей, а после в ранжированном виде привести в таблице.