Теория случайных чисел (стр. 3 из 11)
X={0,1,2,…,9}, P(x=k)=0.1, k=0,1,…,9, Y=x2, Z=(x-5)2.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| P | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| Y | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| Py | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| Z | 25 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| Pz | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
Закон распределения СВ Z:
| Z | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
| Pz | 0.1 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
Бинарные операции (с несколькими величинами)
СВ X,Y заданы в 1 опыте.
| Исход опыта | E1 | E2 | … | En |
| Вероятность исхода | P1 | P2 | … | Pn |
| X | X1 | X2 | … | Xn |
| Y | Y1 | Y2 | … | Yn |
| Z=j(XY) | Z1 | Z2 | … | Zn |
Сложнее, если СВ задана только своим распределением:
| X | a1 | a2 | … | an |
| Р | p1 | p2 | … | pn |
| Y | b1 | b2 | … | bn |
| Р | g1 | g2 | … | Gn |
Z=X+Y
СВ Z принимаетзначения ak+bs, где ak=a1,a2,…,an; bs=b1,b2,…bm.
Общее количество возможных значений СВ = m×n.
P(Z=ak+bs)=P(X=ak, Y=bs)
Для нахождения такой вероятности необходимо знать закон совместного распределения СВ X и Y.
Набор точек (ak,bs) вместе с вероятностями P(X=ak, Y=bs) называется совместным распределением СВ X и Y. Обычно такое распределение задается таблицей.
Определение закона распределения суммы СВ по законам распределения слагаемых называется композицией законов распределения.
| X \Y | b1 | b12 | … | bs | … | bm | Px |
| a1 | P11 | P12 | … | P1s | … | P1m | P1 |
| a2 | P21 | P22 | … | P2s | … | P2m | P2 |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| ak | Pk1 | … | … | Pks | … | Pkm | Pk |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| an | Pn1 | Pn2 | … | Pns | … | Pnm | Pn |
| Py | g1 | g2 | … | gs | … | gm | 1 |
Наиболее просто вероятности Pks находятся в случае независимости СВ X и Y. Две СВ X и Y называются независимыми тогда и только тогда, когда
P(X=ak, Y=bs)=P(X=ak)×P(Y=bs)
Pks=Pk×Ps
По известному закону распределения совместного распределения СВ X и Y могут быть найдены одномерные законы распределения СВ X и Y.
Теорема . Если СВ Х,Y являются независимыми, то любые функции j(Х) и y(У) от этих величин также являются независимыми.
Распределение функции от случайной величины
Х – непрерывная СВ
. По закону распределения СВ Х. Найти закон распределения СВ Y.Если СВ ХÎ[х0 ,х1], то
Î [y0 ,y1].Предполагается, что функция j(х) является однозначной и имеет обратную функцию q(y).
Воспользовавшись элементами вероятности:
получим
.Закон распределения не меняется, если q(y) является линейной.
fy(y)=fx(x).
Многомерные законы распределения СВ
Часто при решении практических задач мы имеем дело не с одной, а с совокупностью нескольких случайных величин, которые взаимосвязаны.
nx1,x2,…,xnn-мерная случайная величина – совокупность n взаимосвязанных случайных величин. Для ее описания используются многомерные законы распределения.
Двумерные функции распределения
X,YF(x,y)=P(X<x,Y<Y)
Функция F(x,y) обладает свойствами, аналогичными свойствам одномерной функции:
– не убывающая 1. x2³x1ÞF(x2,y)³F(x1,y)
– не отрицательная y2³y1ÞF(x,y2)³F(x,y1)
0£F(x,y)£ 1 2. F(¥,¥)= 1 F(-¥,-¥)=0
3. Fx(x)=P(X<x+=P(X<x,Y<¥)=F(x,¥)
Fy(y)=P(Y<y)=P(X<¥,Y<y)=F(¥,y)
f(x,y) – функция плотности вероятности совместного распределения величин x и y.
1. f(x,y)³0
2.
– условие нормировки3. По известным двумерным находятся соответствующие одномерные
В случае статистической независимости СВ Х и У
F(x,y)=Fx(x)×Fy(y)
f(x,y)=fx(x)×fy(y)
F(x,y)=Fx(x)×Fy(y/x)=Fx(x/y) – для условных
f(x,y)=fx(x) ×f(y/x)=fy(y) ×f(x/y)
Раздел 4. Числовые характеристики СВ
Исчерпывающие представления о СВ дает закон её распределения.
Во многих задачах, особенно на заключительной стадии, возникает необходимость получить о величине некоторое суммарное представление: центры группирования СВ – среднее значение или математическое ожидание, разброс СВ относительно её центра группирования.
Эти числовые характеристики в сжатой форме отражают существенные особенности изучаемого распределения.
Математическое ожидание (МО)
М(х), МО(х), mx, m
Основные свойства МО:
1. М(х) СВ Х Þ Хmin£М(х)£Хmax
2. М(С)=С МО постоянной величины есть величина постоянная
3. М(Х±У)=М(Х) ±М(У)
4. М(Х×У)=М(х) ×М(у) Þ М(Сх)=СМ(х) – МО произведения двух независимых СВ
5. М(аХ+вУ)=аМ(Х)+вМ(У)
6. М(Х-m)=0 – МО СВ Х от её МО.
МО основных СВ
Дискретные Случайные Величины
1. Биноминальные СВ МО(Х)=np
2. Пуассоновские СВ МО(Х)=l
3. Бернуллиевы СВ МО(Х)=р
4. Равномерно распред. СВ
Непрерывные Случайные Величины
1. Равномерно распределенная СВ
2. Нормально распределенная СВ MO(X)=m
3. Экспоненциально распределенная СВ
Дисперсия СВ
1. R=Xmax-Xmin – размах СВ
2. M(|X-m|) – среднее абсолютное отклонение СВ от центра группирования
3. M(X-m)2 – дисперсия – МО квадрата отклонения СВ от центра группирования
M(X-m)2=D(X)=s2=sx2=s2(X)
– среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение). 
Основные свойства дисперсии:
1. Для любой СВ Х: D(X)³0. При Х=constD(X)º0.
2. D(X)=M(X2)-M2(X)=M(X2-2mX-m2)
3. D(cX)=c2D(X)
4. D(X+c)=D(X)
5. D(X+Y)=D(X)+D(Y), D(X-Y)=D(X)+D(Y)
В общем случае:
D(X+Y)=M(X+Y-mx+y)2=M((X-mx)+(Y-my))2=M((X=mx)2+2(X-mx)(Y-my)+(Y-my)2)=
=D(X)+2M((X-mx)(Y-my))+D(Y). Второй член этого выражения называется корреляционным моментом. mx+y=M(X)+M(Y)=mx+my. D(X)=M(X-mx)2.
M((X-mx)(Y-my))=K(X,Y)=Kxy=cov(x,y) – ковариация
Kxy/sxsy=rxy – коэффициент корреляции
6. Независимые СВ: D(XY)=D(X)D(Y)+M2(X)D(Y)+M2(Y)D(X)
Дисперсия основных СВ
ДСВ
1. Биноминальные D(X)=npq
2. Пуассоновские D(X)=l
3. Бернуллиевы D(X)=pq