Теория случайных чисел (стр. 8 из 11)

Проверка гипотезы о совпадении 2-х дисперсий.

Задача имеет важное практическое значение. Возникает при наладке какого-либо оборудования при сравнении точности приборов, инструментов, методов измерений.

По 2-м независимым выборкам вычислены оценки дисперсий:

Для проверки гипотезы Н₀ используется критерий Фишера(F–критерий, F–распределение).

Вычисляется коэффициент:

Вычисляется критическое значение F_кр(α (или Р = 1 - α))

,где: ν – число степеней свободы числителя и знаменателя.

Если F_н > F_кр, то Н₀ отвергается,

F_н < F_кр, то Н₀ принимается.

Анализ однородности дисперсий.

Понятие однородности является обобщением понятия равенства дисперсий в случае, если число выборок превосходит 2(N > 2).

Для проверки гипотезы H₀:

Н₀:

Н₁: дисперсия неоднородна.

Объёмы выборок n₁,n₂, … ,n_N различны.

Когда объёмы выборок различны для решения задачи является χ²с (N-1) степенями свободы.

На практике наиболее частым является когда объёмы выборок одинаковы.

При равных объёмах выборок используется критерий Кохрана для проверки Н₀.

Есть соответствующее распределение, но оно громоздко.

В начале вычисляется фактическое значение критерия:

Отношение максимальной оценки дисперсии к сумме всех оценок дисперсий вычисленных по табличным данным.

Для Р = 1 – α вычисляется критическое значение критерия Кохрана G_кр.

При G_н ≤ G_кр - H₀ принимается;

G_н > G_кр - H₀ отвергается.

Проверка гипотез о законе распределения.

Имеется случайная величина Х, требуется проверить гипотезу Н₀:

Н₀: эта случайная величина подчиняется некоторому закону распределения F(x).

Для проверки гипотезы делается выборка состоящая из n независимых наблюдений над случайной величиной Х. По выборке строится эмпирическая функция распределения F*(x). Сравнивая эти распределения с помощью некоторого критерия(критерий согласия) делается вывод о том, что эти два распределения согласуются, т.е. Н₀ – принимается.

Существует несколько критериев согласия: χ² Пирсона, критерий Колмогорова и т.д.

Критерий согласия χ² Пирсона.

Имеется случайная величина Х, выдвигается гипотеза Н₀: F(x), делается выборка.

Диапазон Х_min – Х_max разбивается на ℓ интервалов. Размер интервала определяется по правилу Старджесса. D₁;D₂;D₃;…;D_ℓ.

Интервал D_i	D₁	D₂	D₃	…	D_ℓ
Эмпирическая частота m_i	m₁	m₂	m₃	…	m_ℓ
Теоретическая частота np_i	np₁	np₂	np₂	…	np_ℓ

m_i> 3(в среднем 5 - 7).

При m_i < 3 укрупнить интервал.

Находим частоту попадания случайной величины внутрь каждого интервала.

Поскольку теоретическое распределение задано в гипотезе Н₀ всегда можно найти вероятность p_i попадания случайной величины внутрь каждого интервала.

χ² Пирсона предполагает, что надо построить:

(имеет распределение χ² только при относительно больших n (n > 50)).

Порядок применения χ² Пирсона:

1. Рассчитывается эмпирическое значение критерия χ²;

2. Выбирается уровень значимости α (при Р = 1 - α);

3. По таблице подсчитывается

где: α – уровень значимости;

к – число степеней свободы.

В общем случае к = ℓ - r – 1,

где: ℓ - количество интервалов разбиения;

r – количество параметров распределения подсчитанных по выборке;

Здесь к = r – 1.

Если

Критерий Колмогорова.

По результатам выборки объёмом n строится эмпирическая функция распределения F(х). Принимается гипотеза Н₀: случайная величина Х подчиняется распределению описанному функцией F(x).

За меру расхождения функций принимается величина:

Существуют таблицы распределения Колмогорова в которых можно найти:

- критическое значение. Оно зависит от уровня значимости α(Р = 1 - α), величины D и величины выборки n.

Если полученные из опыта значения коэффициента D оказывается больше критического

, то Н₀ отвергается.

Если

С помощью величины

можно построить доверительные границы для неизвестной функции F(x):

Колмогоров показал, что при n → ∞ величина:

подчиняется распределению Колмогорова.

Критерий Колмогорова так же может быть использован для статистической проверки принадлежности двух выборок объёмом n₁ и n₂ к одной и той же генеральной совокупности. Вычисляется параметр λ:

где:

- эмпирические функции распределения соответственно первой и второй выборки.

По величине λ судят о согласии.

Раздел 6. Основы дисперсионного анализа.

Дисперсионный анализ – это статистический метод анализа результатов наблюдений зависящий от различных одновременно действующих факторов и позволяющий выбрать из ряда факторов наиболее важные, оценивать их влияние.

Основными предпосылками дисперсионного анализа является как правило нормальное распределение результатов наблюдений и отсутствие влияния исследуемых факторов на дисперсию результатов наблюдения.

Обязательным здесь является возможность управляемого изменения фактора в рамках его разновидностей называется уровнями фактора. Эти эксперименты могут быть пассивными, когда существование уровней и их смена является естественными для исследуемого объекта и активными, когда эти изменения искусственно вносятся экспериментатором по заранее составленному плану.

Идея дисперсионного анализа в разложении общей дисперсии случайной величины на независимые случайные слагаемые, каждый из которых характеризует влияние того или иного фактора, или их взаимодействие. Последующие сравнения этих дисперсий позволяют оценить сущность влияния факторов на исследуемую величину.

Пусть Х – это некоторая случайная величина зависящая от 2^х действующих на неё факторов А и В.

- среднее значение исследуемой величины.

Отклонение:

где: α – отклонение вызванное фактором А;

β – отклонение вызванное фактором В;

γ - отклонение вызванное другими факторами.

α, β, γ – случайные величины независимы.

Дисперсию случайной величины Х, α, β, γ обозначим:

где: величина

- остаточная дисперсия учитывающая влияние случайных и прочих неучтённых факторов.

Для независимых и случайных величин имеет место равенство:

Сравнивая

или

с величиной

можно установить степень влияния факторов А и В на величину Х по сравнению с неучтёнными и случайными факторами.

Сравнивая между собой

мы можем оценить сравнительную степень влияния факторов А и В на величину Х.