Некоторые линейные операторы (стр. 4 из 9)

Введем обозначения:

= y₁

= y₂

x₁, x₂, y₁, y₂

E;

A -

*I = , найдем определитель A - *I:

D(A -

*I) = = (2- )*(-2- ) – 3 = ² – 7;

Если определитель отличен от нуля, то есть если

не есть корень уравнения ² – 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра регулярные.

Корни уравнения

² – 7 = 0 образуют спектр:

₁ = ; ₂ = - ;

₁, ₂ – собственные значения.

Найдем собственные векторы для собственных значений

:

при

= получаем:

откуда x₁ = (2+

)x₂; 1-й собственный вектор: ((2+ )x, x);

при

= - получаем:

откуда x₁ = (2 -

)x₂ ; 2-й собственный вектор: ((2 - )x, x);

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

Рассмотрим пространство

непрерывных на отрезке функций, и оператор А, заданный формулой:

Ах(t) = g(t) x(t).

g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,b

R.

Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).

A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).

По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(x), f₀(x))

0 p (A f_n(x), Af₀(x)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C_[

_], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(x), f₀(x)) =

| f_n(x) - f₀(x)|.

Решение:

p (A x_n(t), Ax₀(t)) =

|Ax_n(t) - Ax₀(t)| = |x_n(t)g(t) - x₀(t)g(t)| |g(t)| |x_n(t) - x₀(t)| = |g(t)|p (x_n(t), x₀(t)) 0.

Итак, p (A x_n(t), Ax₀(t))

0. Следовательно по определению 2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.

4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.

По определению 5: ||A||=

|A(f)|.

Решение.

||A||=

|A(f)|= |g(t)x(t)|.

|g(t)x(t)|

|g(t) x(t)| = |g(t)| | x(t)| |x(t)| |g(t)|.

||A||=

|x(t)| |g(t)| = ||x(t)|| |g(t)| |g(t)|.

Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.

5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.

Возьмем произвольное число

и составим оператор :

(А-lI) x(t) = (g(t) –l ) х(t).

Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение

относительно функции . Это возможно, если для любого :

.

Если число

не является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0, и функция непрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке . Отсюда следует, что оператор является ограниченным.

Если же

, то оператор не существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).

Резольвента оператора имеет вид

.

Отметим, что точки спектра

, , не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции , для которой , или . Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.

Вывод:

Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) - функция, непрерывная на [a, b], a,b

R:

1. линейный;

2. непрерывный;

3. ограниченный, с нормой ||A|| = |g(t)|;