Некоторые линейные операторы (стр. 5 из 9)

4. обратим при

, для любого ;

5. спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;

6. резольвента имеет вид

.

§5. Оператор интегрирования

Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций - C_[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:

Аf(t) =

.

f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t

[a,x]; x [a,b]; a,b R;

Поскольку

- интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a x b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.

Проверим оператор A на линейность. По определению 1:

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) =

= + = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).

A(kf) =

= k* = kA(f).

Исходя из свойств интеграла:

1. интеграл от суммы, есть сумма интегралов;

2. вынесение const за знак интеграла.

Можно сделать вывод: оператор А является линейным.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(t), f₀(t))

0 p (A f_n(t), Af₀(t)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C_[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(t), f₀(t)) =

| f_n(t) - f₀(t)|.

Решение:

p (A f_n(t), Af₀(t)) =

| - |.

|

- | = | | = p (f_n(t), f₀(t)) = p (f_n(t), f₀(t)) (x-a) 0

a

x b.

Таким образом p (A f_n(t), Af₀(t))

0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):

|

| | | | |

|

| = 0; | | = |b-a|.

0

| | |b-a|.

5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=

|A(f)|):

||A|| =

|A(f)| = | | = (x-a);

a

x b;

Норма оператора А: ||A|| = (b-a);

6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.

Возьмем пространство S = {f

C_[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.

В пространстве S рассмотрим оператор А:

Аf =

x

[0,b], t [0,x];

Найдем оператор обратный к (A -

*I), R;

(A -

*I)*f = g

- *f(x) = g(x) (1)

Пусть функции f и g дифференцируемы;

Продифференцируем уравнение (1), получим:

f -

*f^/ = g^/ (2)

Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.

- f^/ =

- + f^/ = 0 (3)

Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:

- *U*V + U^/ *V + U*V^/ = 0

U^/ *V + U*V^/ -

*U*V = -

U^/ *V + U*(V^/ -

*V) = - (4)

Решаем однородное линейное уравнение:

V^/ -

*V = 0

V^/ =

*V

= *V

=

LnV =

+ c

V =

* , пусть = с₁