4. обратим при
, для любого ;5. спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;
6. резольвента имеет вид
.§5. Оператор интегрирования
Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций - C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:
Аf(t) =
.f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t
[a,x]; x [a,b]; a,b R;Поскольку
- интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a x b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.Проверим оператор A на линейность. По определению 1:
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g) =
= + = A(f) + A(g).2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).
A(kf) =
= k* = kA(f).Исходя из свойств интеграла:
1. интеграл от суммы, есть сумма интегралов;
2. вынесение const за знак интеграла.
Можно сделать вывод: оператор А является линейным.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn(t), f0(t))
0 p (A fn(t), Af0(t)) 0.Оператор А, действует в пространстве C[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn(t), f0(t)) =
| fn(t) - f0(t)|.Решение:
p (A fn(t), Af0(t)) =
| - |.|
- | = | | = p (fn(t), f0(t)) = p (fn(t), f0(t)) (x-a) 0a
x b.Таким образом p (A fn(t), Af0(t))
0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):
|
| | | | ||
| = 0; | | = |b-a|.0
| | |b-a|.5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=
|A(f)|):||A|| =
|A(f)| = | | = (x-a);a
x b;Норма оператора А: ||A|| = (b-a);
6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.
Возьмем пространство S = {f
C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.В пространстве S рассмотрим оператор А:
Аf =
x
[0,b], t [0,x];Найдем оператор обратный к (A -
*I), R;(A -
*I)*f = g - *f(x) = g(x) (1)Пусть функции f и g дифференцируемы;
Продифференцируем уравнение (1), получим:
f -
*f/ = g/ (2)Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.
- f/ = - + f/ = 0 (3)Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:
- *U*V + U/ *V + U*V/ = 0U/ *V + U*V/ -
*U*V = -U/ *V + U*(V/ -
*V) = - (4)Решаем однородное линейное уравнение:
V/ -
*V = 0V/ =
*V = *V =LnV =
+ cV =
* , пусть = с1