Некоторые линейные операторы (стр. 7 из 9)

Итак:

||Bg||

||g(x)||*( + * {1, }*b);

То есть В – ограничен.

Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A -

*I).

Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A -

*I)*(Bg) = g(x).

Итак, нужно доказать, что

+ g(x) + * = g(x)

или

-

* - + * * = 0; (*)

Возьмем производную от левой части (*) и получим:

-

*g(x) - * * + * * + * * * g(x) = - *g(x) + *g(x) - * * + * * = 0;

Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A -

*I) в S.

Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A -

*I), который существует при R, за исключением =0, то есть все возможные 0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение при которых В не существует, то есть =0.

Вывод:

Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C_[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) =

, где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t [a,x]; x [a,b]; a,b R:

1. линейный;

2. непрерывный;

3. ограниченный: 0

| | |b-a|;

4. норма A: ||A|| = (b-a);

5. резольвента оператора А: R

(A) = -

- * * , где

x

[0,b], t [0,x], g(x) S, S = {f C_[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||= |f(x)|, g(x) = - *f(x), - произвольное число.

6. Спектр оператора А:

=0.

§6. Оператор дифференцирования.

Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D_[a,b], заданный следующим образом:

Дf(x) = f^/(x);

Функция f(x)

D_{[a, b]}, f^/(x) C_{[a, b]};

Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:

1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).

Д(f+g) = (f+g)^/ = f^/ + g^/ = Д(f) + Д(g).

2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).

Д(kf) = (kf) ^/ = k(f)^/ = kД(f).

Исходя из свойств производной:

1. производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;

2. постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Можно утверждать, что Д – линейный оператор.

3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.

3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.

Задан оператор Дf(x) = f^/(x) подпространства E

C[0, 2

], состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2

].

Рассмотрим f₀(x) = 0

C[0, 2

] и последовательность функций f_n(x)= .

В пространстве E

C[0, 2

]: p (f₀, f_n) = | | = 0, следовательно f_n f₀.

Рассмотрим последовательность образов: Д(f_n ) = cos(nx).

Имеем:

p (Дf_n, Дf₀) =

|cos(nx)| = 1.